Sujet du BAC SE Mathématiques

A-On pose : \(U=cos \theta + isin \theta\) et \(V=cos \theta -isin \theta\).

1. Montrer que: \(U \times V=1\) et calculer: \(U+V\); \(U-V\); \(U^m+V^m\) et \(U^m-V^m\) en fonction de \(\theta\), \(m \in \Bbb Z\).
2. Développer \((U+V)^3 et (U-V)^3\)puis utiliser les résultats obtenus au 1) pour donner l’expression linéaire de \(cos^3θ\) et \(sin^3θ\).
3. Calculer les intégrales :
   \(I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}cos^3θ\) et \(I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}sin^3θ\)
   En utilisant les résultats de la question précédente.

B- Soit \(f\) la fonction définie par :$$f(x)=\frac{e^2x}{e^x-1}$$On désigne par \((C)\) la courbe représentative de \(f\).

1. Démontrer l’ensemble de définition de \(f\) et calculer les limites de \(f\) aux bornes de cet ensemble.
2. Démontrer que la courbe (\(\Gamma\)) d’équation \(y=1+e^x\)  est asymptote à \((C)\) en \(+\infty\).  
   Préciser la position relative de \((C)\) et (\(\Gamma\)).
3. Etudier les variations de \(f\) et tracer (\(\Gamma\)) et \((C)\).

C- Résoudre dans \(\Bbb R\) l’équation : $$log_3x=\frac{1}{2}+log_9(4x+15)$$