Sujet du BAC SE Mathématiques

A-On pose : $U=cos \theta + isin \theta$ et $V=cos \theta -isin \theta$.

1. Montrer que: $U \times V=1$ et calculer: $U+V$; $U-V$; $U^m+V^m$ et $U^m-V^m$ en fonction de $\theta$, $m \in \Bbb Z$.
2. Développer $(U+V)^3 et (U-V)^3$puis utiliser les résultats obtenus au 1) pour donner l’expression linéaire de $cos^3θ$ et $sin^3θ$.
3. Calculer les intégrales :
   $I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}cos^3θ$ et $I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}sin^3θ$
   En utilisant les résultats de la question précédente.

B- Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x)=\frac{e^2x}{e^x-1}$$ On désigne par $(C)$ la courbe représentative de $f$.

1. Démontrer l’ensemble de définition de $f$ et calculer les limites de $f$ aux bornes de cet ensemble.
2. Démontrer que la courbe ($\Gamma$) d’équation $y=1+e^x$  est asymptote à $(C)$ en $+\infty$.  
   Préciser la position relative de $(C)$ et ($\Gamma$).
3. Etudier les variations de $f$ et tracer ($\Gamma$) et $(C)$.

C- Résoudre dans $\Bbb R$ l’équation : $$log_3x=\frac{1}{2}+log_9(4x+15)$$