Sujet du BAC SE Mathématiques

Partie A (4pts)

Soit le nombre complexe \( u=\frac{ai-4b}{5+3i}\) avec ∈ \( \Bbb R * \Bbb R \)

1. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) sachant que \(u\) a pour module \(1\) et pour argument \( \frac{3 \pi}{4} (mod2 \pi) \) (1,5pts)
2. a) On donne \(a=\sqrt 2\) et \(b= \sqrt 2\). Calculer \(u^{12}+ u^{16}\) (1pt)
   b) Démontrer que, quels que soient les entiers naturels \(m\) et \(n\) respectivement pair et impair, on a :\( u^{4m}+u^{4n}=0\) (1,5pts)

Partie B  (12pts)

Soit la fonction \(f :x \to \frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}\)
Soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé  \((O;\vec I ;\vec  J) \), unité : \(2cm \)

1. Déterminer l’ensemble de définition \(D_f\) de \(f\). Etudier les limites de f aux bornes de \(D_f\).(3pts)
2. Etudier les variations de \(f\).(4pts)
3. Montrer que le point \(I (0 ; 1)\) est un centre de symétrique pour la courbe \((C)\).(1pt)
4. Construire \((C)\) dans le repère \((O;\vec I ;\vec  J) \), on placera en particulier le point \(A\) de \((C)\) dont l’ordonnée est \(4\). On précisera les asymptotes à \((C)\) .(2pts)
5. Soit \(g\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \( ]0;\infty [\). Montrer \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) que l’on déterminera.(2pts)

Partie C   (4pts)

Un bassin contient trente poissons : Cinq carpes, dix tranches et quinze gardons. On pêche quatre poissons d’un seul coup de filet. Calculer avec deux décimales ; les probabilités des événements suivants :

1. Les quatre poissons sont tous des gardons.(0,5pt)
2. Aucun des quatre poissons n’est un gardon.(0,5pt)
3. Il y a au moins un gardon dans le filet.(1pt)
4. Le filet contient une carpe, une tranche et deux gardons .(1pt)
5. Parmi les quatre poissons il y a au moins deux carpes.(1pt)