Sujet du BAC SE Mathématiques

Exercice1: (4pts)
On considère la suite \(u_n\) définie par : \(u_0=0\) et pour tout entier \(n\), \(u_{n-1}= \frac{2u_n+3}{u_n+4}\)

1. On pose, pour tout entier \(n\) : \(v_n= \frac{u_n-1}{u_n+3}\)  Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique.(2pts)
2. Exprimer \(v_n\), puis \(u_n\) en fonction de \(n\).(2pts)

Exercice2: (pts)

1. On donne le nombre complexe \(u\) :\(u= \sqrt {2-\sqrt 2} -i\sqrt{2+\sqrt 2}\). Calculer \(u^2\) et \(u^4\).(2pts)
2. Calculer le module et l’argument de \(u^4\). En déduire le module et l’argument de \(u\).(3pts)
3. On considère un plan \(P\) muni d’un repère orthonormé. \(A\) tout point \(M\) de coordonnées \((x ;y)\) dans \(P\), on associe son affixe \(z=x+yi\).Déterminer l’ensemble des points \(M\) et \(P\) pour lesquels le module du produit \(u \times z\) est égal à \(8\).(2pts)

Problème : (9pts)

On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty[\) par :
\(f(x)=ln(e^x+e^{-x})\).
On désigne par \((C)\) sa courbe représentative dans le plan.

1. a) Déterminer la limite de f en \( +\infty \). (1pt)
   b) Démontrer que pour tout réel \(x,x \in [0;+\infty[\)\(f(x)=x+ln(1+e^{-2x})\) (1pt)
   c)En déduire que la courbe \((C)\) admet comme asymptote la droite \((D)\) d’équation \(y=x\). Etudier la position relative de \((C)\) par rapport à \((D)\).(1,5pt)
2. Etudier le sens de variations de \(f\) et dresser son tableau de variation.(4,5pts)
3. Tracer la droite \((D)\) et la courbe \((C)\).(1pt)