Sujet du BAC SE Mathématiques

Exercice 1 : (5 points)
On considère deux dés cubiques.
- L’un est rouge et ses \(6\) faces sont numérotées : \(6 ; 6 ; 6 ; 5 ; 5 ; 4\).
- L’autre est noir et ses \(6\) faces sont numérotées : \(3 ; 3 ; 3 ; 2 ; 2 ; 1\).
Les deux dés sont jetés simultanément. Chacune des faces numérotées a la même probabilité d’etre désignée au tirage (équiprobabilité).
On note \(r\) le nombre indiqué par le dé rouge et n le nombre indiqué par le dé noir. On obtient ainsi un couple \((r, n)\).
Soit \(X\) la variable aléatoire qui, à un jet de deux dés, fait correspondre le nombre \(r-n\).
a) Déterminer la loi de probabilité de \(X\). (2 points)
b) Calculer l’Esperance mathématique et la variance de \(X\) . (3 points)

Exercice 2 : (3 points)
Résoudre dans \( \Bbb C \times \Bbb C\) le système suivant :\( \left\{\begin{matrix}
(1 + i)z − iz′ = 2 + i \\
(2 + i)z + (2 − i)z′ = 7 − 4i
\end{matrix}\right.\)

Problème : (12 points)
On considère la fonction \(f\) definie sur l’intervalle \(] − 1; 1[\) par : \(f(x) =\frac{1}{2}\text{ln}(\frac{1+x}{1-x})\)
On note (C) la
courbe représentative de f dans le repère orthonormé \((O,\vec  I, \vec J) \). Unité graphique \(2cm\).
1) Calculer les limites de \(f\) en \(-1\) et en \(+1\). Interpréter graphiquement les résultats obtenus. (2 points)
2)- a) Démontrer que pour tout \(x\) de \(] − 1; 1[\), \( f'(x) =\frac{1}{1−x^2} \) (1 point)
     b) En déduire le tableau de variation de \(f\). (1 point)
     c) Déterminer une équation de la droite \((T)\), la tangente à \((C)\) au point d’abscisse \(O\). (1 point)
3)- Soit \(g\) la fonction de \( \Bbb R\) vers \(\Bbb R\) définie par : \(g(x) = f(x) − x\)
a) Déterminer le sens de variation de \(g\). (3 point)
b) Calculer \(g(0)\) en déduire le signe de \(g(x)\) suivant les valeurs de \(x\). (2 point)
c) Déterminer la position de \((C)\) par rapport à \((T)\). Puis construire \((C)\) et  \((T)\). (2 point)