Sujet du BAC SE Mathématiques

Exercice : (8 points)
Un sac contient dix objets : \(n\) objets sont noirs ; les autres sont blancs. On extrait simultanément deux objets du sac. Les tirages étant équiprobables, quelles sont les probabilités d’obtenir : 

1. Deux objets de couleurs différentes?
2. Deux objets noirs ?
3. Deux objets blancs ? 
   Calculer  \(n\) pour que cette dernière probabilité soit égale à \(\frac {7}{15}\)

Problème : (12 points) 

Le plan est muni du repère orthonormé \((O,\vec I,\vec J)\).
Soit la fonction \(f\) de \(\Bbb R^*\) dans \(\Bbb R\) définie par : \(f(x) = \frac{lnx}{1+lnx}\) et \((C)\) sa courbe representative (unité graphiphe \(2cm\) ).

1. Déterminer l’ensemble de définition \(D_f\) de \(f \)
2. Déterminer les nombres réels \(a\) et \(b\) telsque, pour tout \(x\) de \(Df\), \(f(x) = a + \frac{b}{1+lnx}\)
3. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D_f\) et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
4. a) Déterminer la fonction dérivée \(f′\) de \(f\).
   b) En déduire le sens de variation de \(f\) et dresser son tableau de variation.
5. a) Résoudre dans \( \Bbb R\) l’équation : \(f(x) = \frac{1}{2}\)
   b) Déterminer une équation de la tangente \((T)\) a \((C)\) au point d’ordonnée \(\frac{1}{2}\)
6. Construire la tangente \((T)\) et la courbe \((C)\)