Sujet du BAC SE Mathématiques

Exercice: (08 points)

On considère la suite (U_n) définie par U₀=0 et, tout entier naturel n, \(U_{n+1}= \frac{1}{2}U_n+1\)
1) Calculer U₁,U₂ et U₃.
2) Pour tout nombre entier naturel n, on pose V_n= U_n-2
a) Calculer V₀,V₁ et V₂.
b) Démontrer que (V_n) est une suite géométrique de raison q=\( \frac{1}{2}\)
c) Exprimer V_n puis Un en fonction de n.
3) On pose S_n= V₀ + V₁+V₂+.....+V_n  et T_n= U₀ + U₁ +U₂ +......+U_n
Exprimer S_n en fonction de n puis en déduire T_n en fonction de n

Problème: ( 12 points)

Soit f la fonction définie sur [0;+ꝏ[ par f(0)=0 et, pour tout x  de ]0;+ꝏ[:
\( f(x)=  \frac{x^2}{2} \left( \ln x- \frac 3 2 \right)\)  
1) Démontrer que f est dérivable en 0
2) Dresser le  tableau de variation de f
3) Soit (C) la courbe représentative de f dans un plan muni d'un repère orthonormal (unités 2cm).

1. Soit A le point de (C) d'abscisse 1. Ecrire une équation de la droite (T) tangente en A  à (C)
2. Pour tout x de ]0;+ꝏ[, on pose :\( \varphi (x)= f(x) + x - \frac{1}{4} \)
   (x) et la position de (C) par rapport à (T).
   Tracer la courbe (C) et la droite (T)
   Calculer \( \varphi' (x) \) et \(\varphi'(x)\)
   Déduisez-en le signe de \( \varphi\)