Sujet du BAC SE Mathématiques

Exercice : (08 points)

On considère dans C l’équation (E) : \( 4z^3 – 6i\sqrt{3z^2} – 3(3 + i\sqrt3)z – 4 = 0 \)

1. Déterminer les racines carrées de \( 6 + 6i\sqrt3 \)
2. Résoudre dans C l’équation : \( 2z^2 – (1 + 3i\sqrt3)z – 4 = 0 \)
3. a) Développer, réduire et ordonner \( 2z + 1)[2z^2 – (1+3i\sqrt z – 4] \)

b) En déduire les solutions de (E).

4) Soit \( z_0 = - \frac{1}{2} \) ; \( z_1 = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt3}{2} \) ; \( z_2 = 1 + i\sqrt3 \)

Exprimer chacun des nombres complexes \(z_0 \) ; \( z_1 \) et \( z_2 \) sous forme trigonométrique.        

Problème : (12 points)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( ]0 ; +∞[ \) par : \( f(x) = x + \frac{lnx}{x} \)

On note (C) la courbe représentative de la fonction \( f \) dans le plan muni d’un repère orthonormal \( (o, \vec i, \vec j ) \) (Unité graphique : 3cm)

1. On note (C) la courbe représentative de la fonction \(g \) définie sur \( ]0 ; +∞[ \) par : \( g (x) = x^2 + 1 – lnx \) 

Etudier les variations de g sur \( ]0 ; +∞[ \), puis en déduire le signe de g sur \( ]0 ; +∞[ \)

1. 1) Déterminer la limite en 0 de la fonction \( f \). Quelle est l’interprétation graphique de ce résultat ?

2) Déterminer la limite en +∞ de \( f \) puis montrer que la droite (D) d’équation \( y = x \) est asymptote à la courbe (C).

3) Calculer \( f’(x)\) pour tout réel x de \( ]0 ; +∞[ \)

4) En déduire le sens de variation de \( f \) sur \( ]0 ; +∞[ \), puis dresser le tableau de variation de \( f \)

5) Déterminer le point A de la courbe (C) en lequel la tangente (T) est parallèle à la droite (D)

6) Tracer la droite (D) et (T), et la courbe (C).

7) Montrer que …………………………………..