Sujet du BAC SM Mathématiques

A-a) Résoudre l'équation : \(log_2x - log_8(5 – 2x) = 1\) 
b) Résoudre : \(cos2x - \sqrt3sin2x + 1 = 0\) 
c) On donne \(Z_1 = \frac{\sqrt6-i\sqrt2}{2}\) et \(Z_2 = 1 - i \)
Calculer le module et l'argument de \(\frac{Z_1}{Z_2}\). Calculer \(cos\frac{\pi}{12}\) et \(sin\frac{\pi}{12}\)

B-1.) \((P)\) est un plan euclidien muni d'un repère onthonormé \((0,\vec{i},\vec{j})\).
Soit \(φ\) l'application de \((P)\) dans \((P)\) definie par

Montrer que \(φ\) est une isométrie affine de \((P)\) que l'on précisera.
2.) On appelle \(f_a\) la fonction numérique de la variable réelle \(x\) définie par :
\(f_a(x) = \frac{(a+2)x} {x + 2-a}\) 
\(a\) étant un paramètre réel appartenant à \(\Bbb R-\{-2; 2 \}\) et on appelle \((C_a)\) la courbe representative de \(f_a\) dans le repère \((0,\vec{i},\vec{i})\) de \((P)\).
a)Montrer que, pour tout \(a\) de \(\Bbb {R}-\{-2;2 \}\), \((Ca)\) est globalement invariante par \(φ\) 
b) Montrer que toutes les courbes \((C_a)\) passent par deux points indépendants de \(a\).
3. Soit \(ω_a\) le point de coordonnées \((a – 2; a + 2)\) dans le repère \((0,\vec{i},\vec{j})\) de \((P)\) et les vecteurs \(\vec{I} =\frac{1}{\sqrt 2}(\vec i-\vec j) \) et \(\vec J= \frac{1}{\sqrt 2}(\vec i + \vec j)\).
a) Montrer que \((ω_a, \vec{I}, \vec{J})\) est un repère orthonormé de \((P)\).
b) Determiner une équation de \((C_a)\) dans le repére \( (ω_a, \vec{I}, \vec{J})\).
En déduire que \((C_a)\) est une hyperbole équilatère.