Sujet du BAC SM Mathématiques

A)1. Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) \(x^2 + y^2 – 2x^2y' = 0 \)
b) \(y'' + 2y' + 5y = 0\) et determiner la solution \(f\) qui vérifie :
\(f(0) = 1\, et\, f'(0) = -1\)
2. Soit \(α\) un nombre réel appartenant à l'intervalle \([0;\frac{\pi}{2}[\)
Montrer que \(tan^2α  = \frac{1- cos2α} {1+ cos2α} \)
Verifier que : \(tan \frac{\pi}{2}= \sqrt {2} – 1\). En déduire la valeur tan \(\frac{3\pi}{8}\).
3.Le plan euclidien \(P\) est rapporté à un repère orthonormé \((0,\vec{i},\vec{j})\), on considère les points \(A(3; 1),\, B (0; 2)\). Soit \(a\) un réel strictement positif. Trouver les coordonnées du point \(M\) tel que : \(2\vec{MA}+\vec{MB} = 3 \frac{\vec{i}}{lna}+ 3aln\frac{1}{a}\vec{j} \)

B) On considère la fonction \(f\) de la variable réelle \(x\) définie par :
\(f(x) = ln (x +\sqrt{x^2+4})\)  
1. Quel est l'ensemble de définition de \(f\)? Montrer que l'on a :
\(∀ x ∈ \Bbb R,\, \frac{f(x) + f(-x)}{2} = ln 2\)
2.Etudier et tracer la courbe representative de \(f\) dans un repère orthonormé et montrer qu'elle admet un centre de symétrie.  
3. Montrer que \(f\) est une bijection de \(\Bbb R\) sur \(\Bbb R\).