Sujet du BAC SM Mathématiques

A)1. Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) $x^2 + y^2 – 2x^2y' = 0$
b) $y'' + 2y' + 5y = 0$ et determiner la solution $f$ qui vérifie :
$f(0) = 1\, et\, f'(0) = -1$
2. Soit $α$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0;\frac{\pi}{2}[$
Montrer que $tan^2α  = \frac{1- cos2α} {1+ cos2α}$
Verifier que : $tan \frac{\pi}{2}= \sqrt {2} – 1$. En déduire la valeur tan $\frac{3\pi}{8}$.
3.Le plan euclidien $P$ est rapporté à un repère orthonormé $(0,\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $A(3; 1),\, B (0; 2)$. Soit $a$ un réel strictement positif. Trouver les coordonnées du point $M$ tel que : $2\vec{MA}+\vec{MB} = 3 \frac{\vec{i}}{lna}+ 3aln\frac{1}{a}\vec{j}$

B) On considère la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie par :
$f(x) = ln (x +\sqrt{x^2+4})$  
1. Quel est l'ensemble de définition de $f$? Montrer que l'on a :
$∀ x ∈ \Bbb R,\, \frac{f(x) + f(-x)}{2} = ln 2$
2.Etudier et tracer la courbe representative de $f$ dans un repère orthonormé et montrer qu'elle admet un centre de symétrie.  
3. Montrer que $f$ est une bijection de $\Bbb R$ sur $\Bbb R$.