Sujet du BAC SM Mathématiques

I) Soit \(ABCD\) un losange de centre \(O\) avec \(OB = 2 0A \)
a-) Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que :
\((\vec {MA} + \vec {MB} - 2\vec {MC})(2\vec {MB} - \vec {MC} + \vec {MD}) = 0 \)
b) Determiner l'ensemble des points \(M\) tels que :
\(MA^2 + MC^2 - 2MD^2 = -6OA^2\)

II) On considère la fonction \(f\) définie par : \(f(x) = ln|x^2 - 1|\)
a-) Etudier le sens de variation de la fonction \(f\).
b-) On désigne par \((C)\) la représentation graphique de \(f\) dans le plan muni d'un repère orthonormé \((o,\vec{i},\vec{j})\). Montrer que \((C)\) admet un axe de symetrie.
c-) Démontrer que pour tout réel \(x\) de \(D_f\), \(f(x) = 2ln|x| + ln|1- \frac{1}{x^2}|\) et  calculer 
Donner une interpretation graphique de cette limite.
d-) Construire \((C)\).

III) On pose : \(U_n = \int^{(n+1)π}_{nπ} e^{-x}sinxdx\), \(n ∈ \Bbb N\) 
a-) Calculer \(U_n\) à l'aide d'une integration par parties.
b-) Montrer que la suite \((U_n)_{n ∈ \Bbb N}\) est géométrique. Indiquer le premier terme et la raison.
c-) On note \(S_n = U_1 + U_2 + ... + U_n\). Calculer \(S_n\) et sa limite quand n tend vers \(+∞\).