Sujet du BAC SM Mathématiques

I) Soit $ABCD$ un losange de centre $O$ avec $OB = 2 0A$
a-) Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que :
$(\vec {MA} + \vec {MB} - 2\vec {MC})(2\vec {MB} - \vec {MC} + \vec {MD}) = 0$
b) Determiner l'ensemble des points $M$ tels que :
$MA^2 + MC^2 - 2MD^2 = -6OA^2$

II) On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = ln|x^2 - 1|$
a-) Etudier le sens de variation de la fonction $f$.
b-) On désigne par $(C)$ la représentation graphique de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(o,\vec{i},\vec{j})$. Montrer que $(C)$ admet un axe de symetrie.
c-) Démontrer que pour tout réel $x$ de $D_f$, $f(x) = 2ln|x| + ln|1- \frac{1}{x^2}|$ et  calculer 
Donner une interpretation graphique de cette limite.
d-) Construire $(C)$.

III) On pose : $U_n = \int^{(n+1)π}_{nπ} e^{-x}sinxdx$, $n ∈ \Bbb N$ 
a-) Calculer $U_n$ à l'aide d'une integration par parties.
b-) Montrer que la suite $(U_n)_{n ∈ \Bbb N}$ est géométrique. Indiquer le premier terme et la raison.
c-) On note $S_n = U_1 + U_2 + ... + U_n$. Calculer $S_n$ et sa limite quand n tend vers $+∞$.