Sujet du BAC SM Mathématiques

A) Les faces d'un dé cubique sont numérotées respectivement : $6;\, 6;\, 6;\, 5;\, 4;\, 3$.
On suppose que lors d'un lancer la probabilité d'apparition de chaque face est $kx$; $x$ étant le numéro de la face et $k$ un nombre réel.
1. Montrer que $k = \frac{1}{30}$.
2. On lance $4$ fois ce dé, quelle est la probabilité d'obtenir $2$ fois le numéro $6$

B) 1. La fonction numérique $g$ est définie sur $]0; +∞[$ par :
$g(x) = 2x \sqrt{x} - 3lnx + 6$
En utilisant le sens de variation de $g$, déterminer suivant les valeurs de $x$, le signe de $g(x)$.
2. La fonction numérique $f$ est définie sur $]0; +∞[$ par :
$f(x)=\frac {3lnx}{x}+x-1$
a) Déterminer les limites de $f$ en $0$, en $+∞$. 
b) Utiliser le résultat de la question 1) pour déterminer le sens de variation de f dans un répère orthonormé du plan.
3. Soit $(D)$ la droite d'équation $y = x – 1$ et $(C)$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé du plan. Montrer que $(D)$ est asymptote à $(C)$ et étudier la position relative de $(C)$ et $(D)$ 
4. Construire $(C)$ et $(D)$