Sujet du BAC SM Mathématiques

A) Les faces d'un dé cubique sont numérotées respectivement : \(6;\, 6;\, 6;\, 5;\, 4;\, 3\).
On suppose que lors d'un lancer la probabilité d'apparition de chaque face est \(kx\); \(x\) étant le numéro de la face et \(k\) un nombre réel.
1. Montrer que \(k = \frac{1}{30}\).
2. On lance \(4\) fois ce dé, quelle est la probabilité d'obtenir \(2\) fois le numéro \(6\)

B) 1. La fonction numérique \(g\) est définie sur \(]0; +∞[\) par :
\(g(x) = 2x \sqrt{x} - 3lnx + 6\)
En utilisant le sens de variation de \(g\), déterminer suivant les valeurs de \(x\), le signe de \(g(x)\).
2. La fonction numérique \(f\) est définie sur \(]0; +∞[\) par :
\(f(x)=\frac {3lnx}{x}+x-1\)
a) Déterminer les limites de \(f\) en \(0\), en \(+∞\). 
b) Utiliser le résultat de la question 1) pour déterminer le sens de variation de f dans un répère orthonormé du plan.
3. Soit \((D)\) la droite d'équation \(y = x – 1\) et \((C)\) la représentation graphique de \(f\) dans un repère orthonormé du plan. Montrer que \((D)\) est asymptote à \((C)\) et étudier la position relative de \((C)\) et \((D)\) 
4. Construire \((C)\) et \((D)\)