Sujet du BAC SM Mathématiques

A) 1-a) Trouver l'ensemble des entiers naturels diviseurs du nombre $5929$.
b) Trouver les couples $(a; b)$ d'entiers naturels dont le $PGCD$ et le $PPCM$ sont les solutions de l'équation: $x^2 – 91x + 588 = 0$.
2.Démontrer que $A= 3^{3n+2} + 2^{n+4}$ est divisible par $5$.

B) Soit la suite (Un) definie par : 

1. Montrer en raisonnant par récurrence que la suite $(U_n)$ est majorée par $3$.
2. Etudier le sens de variation de $(U_n)$.
3. On considère la suite $(V_n)$ définie pour tout entier naturel n non nul par :
$V_n= n(3 - U_n)$. Montrer que $(U_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
4. Exprimer $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$.

C) Soit $θ$ un nombre réel tel que: $0≤θ<\frac{π}{2}$  
1. Résoudre dans $\Bbb C$ l'équation : $Z^2cos^2θ - 2Zsinθcosθ + 1 = 0$.
2. Déterminer le module et un argument de chaque solution de cette équation.
3. Résoudre l'équation différentielle :
$(1 + cos2θ)y" - (2sin2θ)y' + 2y = 0$, où $y$ représente une fonctlon de la variable réelle $x$.

D) Soit $ABC$ un triangle.
1.a) Construire $I, J, K$ tels que : $I = bar{(A ;2), (C;1)},\, J = bạr{(A;1),(B;2)}\, et\, K = bar{(C; 1),(B; – 4)}$ 
b) Démontrer que le point $B$ est le barycentre de ${(C;1),(K;3)}$.
2. Démontrer que :  
a) le point J est le barycentre de ${(1;2),\, (C; 1),\, (K;3)}$ 
b) le milieu du segment $[IK]$ est le point $J$.
3. Soit $L$ et $M$ les milieux respectifs de $[CI]$ et $[CK]$. Démontrer que $IJML$.