Sujet du BAC SM Mathématiques

A) 1-a) Trouver l'ensemble des entiers naturels diviseurs du nombre \(5929\).
b) Trouver les couples \((a; b)\) d'entiers naturels dont le \(PGCD\) et le \(PPCM\) sont les solutions de l'équation: \(x^2 – 91x + 588 = 0\).
2.Démontrer que \(A= 3^{3n+2} + 2^{n+4}\) est divisible par \(5\).

B) Soit la suite (Un) definie par : 

1. Montrer en raisonnant par récurrence que la suite \((U_n)\) est majorée par \(3\).
2. Etudier le sens de variation de \((U_n)\).
3. On considère la suite \((V_n)\) définie pour tout entier naturel n non nul par :
\(V_n= n(3 - U_n)\). Montrer que \((U_n)\) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
4. Exprimer \(V_n\) puis \(U_n\) en fonction de \(n\).

C) Soit \(θ\) un nombre réel tel que: \(0≤θ<\frac{π}{2} \)  
1. Résoudre dans \( \Bbb C\) l'équation : \(Z^2cos^2θ - 2Zsinθcosθ + 1 = 0\).
2. Déterminer le module et un argument de chaque solution de cette équation.
3. Résoudre l'équation différentielle :
\((1 + cos2θ)y" - (2sin2θ)y' + 2y = 0\), où \(y\) représente une fonctlon de la variable réelle \(x\).

D) Soit \(ABC\) un triangle.
1.a) Construire \(I, J, K\) tels que : \(I = bar{(A ;2), (C;1)},\, J = bạr{(A;1),(B;2)}\, et\, K = bar{(C; 1),(B; – 4)}\) 
b) Démontrer que le point \(B\) est le barycentre de \({(C;1),(K;3)}\).
2. Démontrer que :  
a) le point J est le barycentre de \({(1;2),\, (C; 1),\, (K;3)}\) 
b) le milieu du segment \([IK]\) est le point \(J\).
3. Soit \(L\) et \(M\) les milieux respectifs de \([CI]\) et \([CK]\). Démontrer que \(IJML\).