Sujet du BAC SM Mathématiques

A) On compose un jury en tirant au sort trois personnes parmi sept volontaires: quatre hommes et trois femmes. \(X\) désigne la variable aléatoire qui associe à chaque jury le nombre de femmes qu'il présente.
1. Déterminer la loi de probabilité de \(X\) et calculer son espérance \(E(X)\). 
2. Calculer la probabilité qu'il ait au moins une femme dans le jury.

B) 1. Déterminer l'ensemble des entiers relatifs \(x\) tels que : \(8x≡ 7[5] \)
2. Résoudre l'équation : \((x; y) ∈ Z × Z,\, 336x + 210y = 294\)

C) Dans le plan rapporté à un repère orthonormal \((0,\vec{i},\vec{j})\), on considère les points \(A,\, B\, et\, C\) de coordonnées respectives \((1;5),\, (2; 3)\, et\, (4;4) \)
1. Détenniner le barycentre \(G_α\) des points \(A,\, B,\, C\) affectés respectivement des coefficients \(1;\,  α+ 1;\, -α + 3\) avec \(α\) réel.
2. Déterminer l'ensemble \(G_α\) quand \(α\) décrit \(R\). '
3. Choisir \(α\) pour que \(G_α\) soit le point \(D(1;3)\).
4. On prend \(α = 5\), determiner l'ensemble des points \(M\) du plan vérifiant : \(MA^2 +6MB^2 – 2MC^2 = 25\) 

D) Le repère \((0,\vec{i},\vec{j})\) est orthonormé.
Soit f la fonction définie par : \(f(x) = (1 - x)(1 +e^x)\)
On désigne par \((C)\) la courbe représentative de \(f\). 
1. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.
2. Démontrer que la droite \((D)\) d'équation \(y=-x+1\) est asymptote à \((C)\) en \(-∞\). Préciser la position relative de \((C)\) et \((D)\).
3. Etudier les variations de la fonction dérivée \(f'\) et déduire les variations de \(f\).
4. Tracer \((C)\)