Sujet du BAC SM Mathématiques

A) 1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a:$$ \sum_{k=1}^n= \frac{(n-1)n(n+1)}{6}$$2.a) Décomposer 469 en produit de facteurs premiers.
b) Résoudre dans \(\Bbb N^2\) l'equation : \(x^3 – y^3 = 469\)

B) Dans une ville, il y a  médecins. Quatre habitants de cette ville, malades le même jour, appellent au hasard l'un de ces trois médecins.
1. Quelle est la probabilité pour qu'un seul médecin soit appelé ?
2.Quelle est la probabilité pour que les trois médecins soient appelés ?

C) Le repère \((0,\vec{i},\vec{j})\) est orthonormé.
Soit la fonction définie par :

1.a) Démontrer que \(f\) est continue et dérivable en \(1\).
b) Calculer les limites de \(f\) aux bomes de son ensemble de préciser les branches infinies de la courbe représentati
c) Etudier les variations de \(f\).
Demontrer que le point d'abscisse e est un point d'inflexion à \((C)\). 
d) Tracer \((C)\).
2. Soit \(h\) la restriction de \(f\) à l'intervalle \(]1; +∞[\).
a)Demontrer que \(h\) réalise une bijection de \(]1; +∞[\) vers un intervalle que l'on précisera.
b) En déduire que h admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) dont on précisera le sens de variation.
Tracer la courbe représentative de \(h^{-1}\).
c) 1. Determiner le module et un argument du nombre complexe
\(U= \frac{\sqrt{3}+i}{4}\)
2. Soit f l'application de C vers lui-même qui, à tout nombre complexe \(\Bbb Z\). associe :
\(f(Z) = UZ + (1 + i)(1 - U)\)
Montrer que \(f\) est bijective et déterminer le nombre complexe \(ω\) tel que : \(f(ω) = ω\).
3. Soit \(I,\, M\, et\, M'\) les points du plan complexe ayant pour affixes \(ω,\, Z \,et\, f(Z)\) respectivement.
On suppose \(M\) différent de \(I\). Donner une mesure de l'angle \((\widehat{\vec{IM}, \vec{IM}})\) et calculer la distance \(IM'\) en fonction de la distance \(IM\).  
On note \(F\) l'application qui à point \(M\) associe le point \(IM'\).
Prériser  la nature de \(F\) et ses éléments caractéristiques.
4. Soit \(A_0\) le point d'affixe \(Z_0 = -1+ 2i\). On définit, pour tout entier naturel \(n_1,\, Z_{n+1}=f(Z_n)\)
On note \(A_n\) le point d'affixe \(Z_n\) dans le plan complexe.
Calculer en fonction de \(n\), la distance \(IA_n\). Quelle est la limite de cette distance quand n tend vers \(+∞\).