Sujet du BAC SM Mathématiques

A) 1. Trouver toutes les paires d'entiers naturels \(a\) et \(b\) tels que l'on ait:

2. Déterminer l'ensemble des entiers relatifs \(x\) tels que : \(8x ≡ 7[5]\)
3. Résoudre l'équation : \((x;y) ∈ \Bbb Z ×  \Bbb Z,\, 336x+210y=294\);
(la deuxième question fournira une solution particuliére de l'équation simplifiée)

B) Une caisse contient pêle-mêle \(10\) cubes rouges, \(20\) cubes jaunes et \(5\) cubes verts, tous de la même taille.
1. Quelle est la probabilité de pouvoir faire le drapeau de la République de Guinée :
 a) en prenant simultanément \(3\) cubes ?
 b) en prenant simultanément \(4\) cubes ?
2. Quelle est la probabilité, en prenant successivement \(3\) cubes l'un après l'autre, sans remise, d'obtenir dans l'ordre le drapeau de la République de Guinée.

C) On donne la fonction f définie par :
\(f(x) = x+ \frac {e^x}{2(e^x - 2)}\) 
1. Déterminer l'ensemble de définition de \(f\) et calculer les limites de faux bornes de cet ensemble.
2. Etudier les variations de f
3.a) Montrons que la droite \((D)\) d'équation \(y = x\) est asymptote représentative \((C)\) de \(f\) en -∞. Preciser la position de \((C)\) par rapport à \((D_1)\). 
b) Montrons que la droite \((D_2)\) d'équation \(y = x + \frac{1}{x}\) est asymptote à la courbe représentative \((C)\) de \(f\) en -∞. Preciser la position de \((C)\) par rapport à \((D_2)\).
4. Montrer que le point \(I\) de coordonnées \((ln2;\, ln2 + \frac {1}{4})\) est un symétrique de \((C)\).
5. Construire \((C)\) dans un repère orthonormal \((0,\vec {i},\vec {j})\)
 (unité de longueur: \(2cm;\, ln2 ≈0,69\)).

D) On donne un rectangle \(ABCD\) du plan dont les côtés \([AB]\) et \([BC]\) ont pour longueurs \(a\) et \(b\).
Pour tout réel non nul \(m\), on note \(G_m\) le barycentre du système de points pondérés \({(A; m),(B; -1),(C; 1)}\).
Pour chacune des questions ci-dessous, on donnera une solution géométrique puis une solution analytique.
1. Déterminer l'ensemble \((E_1)\) des points \(G_m\) lorsque m décrit \(R^*\).
2. Déterminer l'ensemble \((E_2)\) des points \(M\) du plan tels que :
\(||\vec{MA} - \vec{MB} + \vec{MC}|| = \sqrt{a^2+b^2}\)
3. Déterminer l'ensemble \((E_3)\) des points \(M\) du plan tels que :
\((\vec{MA} – \vec{MB} + \vec{MC})(2\vec{MA} – \vec{MB} + \vec{MC}) = 0\).