Sujet du BAC SM Mathématiques

A) 1. En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer le \(PGCD\) des nombres \(231\) et \(3311\).
2. Soit \(n\) un entier naturel supérieur à \(2\). On pose:
\(A(n)= 1 + 2 + ... +n\, et\, B(n) = 1^2 + 2^2 + ...+n^2\)
On rappelle que, quelque soit \(n\), \(A(n) = \frac {n(n+1)}{2}\)
a) Démontrer par récurrence, que quelque soit \(n\), \(B(n)=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}\)
b) On suppose que \(n\) est un multiple de \(3\). Déterminer dans ce cas, le \(PGCD\) de \(A(n)\, et\, B(n)\).
c)Vérifier le résultat obtenu dans le cas particulier où \(n = 21\).

B)Cinq personnes se donnent rendez-vous dans un des cafés d'un village qui en compte cinq. Chaque personne choisit au hasard l'un des cinq cafés.
1. Calculer la probabilité pour que chacune des personnes ait choisi un café différent.
2. Calculer la probabilité pour que les cinq personnes se retrouvent dans Ic même café.
3. Calculer la probabilité pour qu'au moins deux personnes se retrouvent dans un même café.

C) Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(R_+\) par :

2) Etudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) en \(1\).
b) On considère la fonction g définie pour x appartenant à \([1;+∞[\) , par: \(g(x) = xlnx\) et on appelle \((Γ)\) sa courbe représentative dans un repère orthonoriné \((0,\vec {i},\vec{j})\).
Etudier \(g\) et tracer \((Γ)\).
c) Etudier la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+∞\).
Montrer que la courbe \((C)\) de \(f\) dans le repère \((0,\vec{i},\vec{j})\) et \((Γ)\) sont asymptotes et est positive.
Achever l'étude de la fonction \(f\). 
Tracer \((C)\) sur la même figure que \((Γ)\).
D) ABC est un triangle, on pose : \(BC = a,\, AC = 6,\, AB = c\), A' est le milieu du segment \([BC]\); \(B'\) celui de \([AC]\): \(C'\) celui de \([AB]\) 
Soit \(G\) l'isobarycentre des sommets du triangle \(ABC\).
1. Montrer que, pour tout point M du plan :
\(MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{6}\)
2. En calculant de deux façons différentes \((\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC})^2\), etablissez que :
\( 2\vec{MA}\)\(\vec{MA'} + \vec{MB}\)\(\vec{MC}=3MG^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{6}\)
3. On considère les points communs aux cercles de diamètre \([AA']\) et \([BC]\).
Montrer que, lorsqu'ils existent, ils appariennent à un cercle de centre \(G\) dont on donnera le rayon en fonction de \(a,\, b,\, c\).