Sujet du BAC SM Mathématiques

EXERCICE1
I. 1. Demontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non null, on a: 

2.a) Résoudre dans \(\Bbb Z^2\), l'équation : \(661x – 991y = 1\)
b) Soit  \((U_n)\) et \((V_n)\) les suites  Arithmétiques definies par : 

Déterminer tous les couples \((p,\, q)\) d'entiers naturels inferieurs à \(2000\) tels que \(U_p = V_q\)

II. Soit \(ABCD\) un parallelogramme.
P est le point tel que : \(\vec {AP} = \frac {1}{3} \vec {AB}\) ; \(Q\) est le symétrique du milieu de \([AD]\) par rapport à \(A\). Démontrer que les points \(P,\, Q,\, C\) sont alignés.

EXERCICE 2
Soit f la fonction définie sur \(R_+\)par :
\(f(x) = \frac {e^x}{e^x+1}\)
1. Déterminer une primitive de \(f\) sur \(R_+\)
2. Soit la suite \((U_n)\) definie pour \(n > 0\) par:

a) Calculer \(U_1\) et  \(U_2\). Exprimer \(U_n\) en fonction de \(n\).
b) Que représente graphiquement le nombre \(U_1\):
3. Montrer que \((U_n)\) est une suite décroissante positive.
Que peut-on en  en déduire. Calculer la limite de cete suite.
4.On pose \(S_n = U_1 + U_2 + ... + U_n\)
a) Calculer \(S_1,\, S_2,\, S_3\) et exprimer \(S_n\), en fonction de \(n\).
b) Calculer $$lim_{n→∞}Sn$$

PROBLEME

I-) Soit \(f\) la fonction definie par :
\(f(0)=0\) et pour tout réel strictement positif \(x\), \(f(x) = \frac {xlnx}{x+1}\)
1. Etudier la continuité de f et la dérivabilité de \(f\) en \(0\).
2. Soit \(φ\) la fonction derivable sur \(]0; +∞[ \)et définie par :
\(φ(x) = lnx + x + 1\)
a) Etudier le sens de variation de \(φ\).
b) Démontrer que l'équation \(φ(x) = 0\) admet une solution unique \(β\) telle que: \(0,27≤ β≤ 0,28\); avec \(φ(0,27) = -0,04\) et \(φ(0.28) = 0,007\) 
3.a) Exprimer \(f'(x)\) en fonction de \(φ(x)\). En déduire les variations de \(f\).
b) Vérifier que : \(f(β) = -β\)
c) Calculer la limite de \(f\) en \(+∞\). Dresser le tableau de variation de \(f\).
4. Tracer la courbe représentative de \(f\) dans le plan muni d'un repère orthonormé \((0,\vec {i},\vec {j})\). On placera en paniculier les points d'abscisses : \(1;\,3;\, 4;\, e^2;\, 12. \)
On prendra : \(In(0,27) ≈ -1,31;\, In(0,28) ≈ -1,27;\, In2 ≈ 0.7;\, In3 ≈ 1.1;\, In5 ≈ 1,6\).
II-) 1.a) Démontrer que l'équation \(f (x) = 1\) admet une solution unique \(α\) en un dans \([3; 4]\).
On prendra : \(f(3) ≈ 0,82\) et \(f(4) ≈ 1,1\)
b)Démontrer que les équations : \(f(x) = 1\) et \(e^{1+\frac{1}{x}}=x\) sont équivantes.
2. Soit \(g\) la fonction dérivable sur \(]0;+∞[\) et définie pour tout réel Strictement positif \(x\) par : \(g(x) = e^{1+\frac{1}{x}} \)
Soit \((U_n)\) la suite definie par : \(U_n = 3\) et la rélation de réccurence:
\(U_{n+1}=g(U_n)\).
Démontrer par récurrence que: \(∀\, n\, ϵ\, \Bbb N,\, U_n\, ϵ\, [3;4]\); sachant que: \(x\, ϵ\, [3;4];\, g(x)\, ϵ [3;4]\).