Sujet du BAC SM Mathématiques

A) Dans un système de numération de base a, on considère les nombres :
\(A = \overline {211},\,B = \overline{312},\,C = \overline{133032}\)
1. Expliquer pourquoi a doit être supérieur à \(3 \).
2.a) Sachant que \(C = A × B\), montrer que \(a^3 - 3a^2 - 2a - 8 = 0 \). En déduire que \(a\) divise \(8\).
b) Déterminer alors \(a \).
3. L'écriture d'un nombre dans le système décimal est \(214 \), écrire ce nombre dans la base  \(4 \).
4. Dans cetle question, on suppose que \(a = 4 \).
a) Ecrire \(A,\, B\, et\, C\) dans le système décimal.
b) Montrer alors que \(C = A×B = PPCM(A; B)\). En déduire que l'équation \(Ax + By = 1\) a des solutions dans \(\Bbb Z^2\)?
5. On considère dans \(\Bbb Z^2\) l'équation: \(37x + 54y = 1\).
Vérifier que \((19; -13)\) est une solution de cette équation.
Résoudre cette équation.

B) Deux chasseurs Moussa et Mamadou, aperçoivent ensemble un lièvre et tirent simultanément.

1. Sachant que Moussa atteind et tue d'habitude \(5\) lièvres sur \(6\) et Mamadou \(4\) sur \(5\), quelle est la probabilité pour que le lièvre soit tué ?
2. En fait, Mamadou a tiré le premier.
a) Quelle est la probabilité pour que Moussa tue le lièvre sachant que, si Mamadou tire et manque, les chances nomales pour Moussa t’ateindre le lièvre se trouvent diminuées de moitié ?
b) Dans ces conditions, Mamadou a tiré le premier, puis Moussa, quelle est la probabilité pour le lièvre d'en échapper sain et sauf?

C) Soit g la fonction définie par: \(g(x) = x + \sqrt{x^2 + 1}\)
1.a) Délerininer l'ensemble de définition Dg de g et demontrer que \(∀\, x\, ∈ Dg, g(x)>x+|x|\) 
   b) En déduire le signe de \(g\) sur \(D_g\)
2. Etudier g et tracer sa courbe représentative.
3. Soit ϕ In fonction definie par : ϕ\((x) = ln(x + \sqrt{x^2 + 1}\).
a) Résoudre l'équation : ϕ\((x) = -ln(3 – 2 \sqrt 2)\) et endéduir que  ϕ est impaire.
b) Etudier ϕ et tracer sa courbe représentative.
c) Démontrer que ϕ est une bijection de \(\Bbb R\) vers \(\Bbb R\) et que:
 \(∀\, x\, ∈ \Bbb Z \) , ϕ\( \bigl( \frac{e^n-e^{-n}}{2}\bigr)=n \)
4. Pour tout entier naturel n≥2, on considère l'intégrale In définie par :

a) Calculer \(l_2\) et démontrer, à l'aide d'une intégration parties que pour tout entier naturel n≥2,  \(l_{n+1}=e- \frac{\sqrt  e}{2^{n-1}}+(1-n)l_n \)
b) Etablir que pour tout nombre réel \( x ∈ [1;2]\,, 0≤ \frac {1}{x^n}e^{\frac{1}{x}}≤ \frac {e}{x^n} \)
c) En déduire un encadrement de \(l_n\), puis étudier la limite éventuelle de la suite (\(l_n\))

D) Dans le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

Soit s la similitude directe de centre \(l\), transformant les points A et B d'affixes respectives \(3 + i\, ,3 - i\), en A'et B' d'affixes respectives \(2+5i \,, 4+3i\) .
1. Déterminer les éléments caractéristiques de s
2. Déterminer le barycentre des points \(l\), A, B affectés respectivement des coefficients 6, 1, 1. En déduire le barycentres des spoints \(l\), A', B' affectés des même coefficients respectifs.