Sujet du BAC SM Mathématiques

EXERCICE 1

1. Calculer le PGDC de \(4^5 - 1 \,et\, 4^6 - 1\)
Soit \((U_n)\) la suite numérique définie par \(U_0 = 1,\, U_1= 5\) et pour tout entier naturel n, \(U_{n+2} = 5 U_{n+1} - 4U_n \)
2. Calculer les termes \(U_2,\,U_3 \,et\, U_4\) de la suite \((U_n)\)
3.a) Montrer que la suite \((U_n)\) verifie, pour tout entier naturel n,

\(U_{n+1} = 4U_n + 1\)

b) Montrer que, pour tout entier naturel n, \(U_n\) est un entier naturel.
c) En déduire, pour tout entier naturel n, le PGCD de \( U_n \,et\, U_{n+1}\)
4. Soit \((V_n)\) la suite définie par tout entier naturel n par \(V_n = U_n+\frac {1}{3}\)
a) Montrer que \((V_n)\) est une suite géométrie dont on déterminera la raison et le premier terme \(V_0\) 
b) Exprimer \(V_n\) puis \(U_n\) en fonction de \(n\)
c) Déterminer, pour tout entier naturel \(n\), Ie \(PGCD\) de \(4^{n+1} - 1 \,et\, 4^n - 1\)

EXERCICE 2

A tout point \(M\) du plan de coordonnées\((x;y)\) on associe son affixe \(Z= x + iy\)

Soit s l'application du plan dans lui-même qui à tout point \(M\) d'affixe \(Z\) associe le point \(M_1\), d'affixe \(Z_1\), telle que :\( Z_1= (-1+i)Z + 1+ 4i\)
1. Donner la nature de s et déterminer ses éléments caracteristiques
2. Calculer les coordonnées \(x et y\) du point \(M\) en fonction \(x_1 \, et\, y_1\).
3. Déterininer les équations des transformées par s de la droite \(x=0\) et de la droite \((D')\) d'équation \(y = x - 1\).

PROBLEME

 A-) On considère la fonction \(g\) detinic sur \([0,+∞[\) par \(g(0) = 1 \,et\, ∀\, x\, ∈ \Bbb R;\, g(x)=1+x-xlnx\)
1. Etudier la continuté et la dérivabilité de \(g\) en \(0\)
2. Etudier les variations de g et donner son tableau de variation.
3.a) Démontrer que l'équatio \(g(x)=0\) admet une solution unique ∀\, x\, ∈ ]0,+∞[ .
b) Justifier que \(3,5 <ß < 3,6\) 
4. Tracer (Cg).

B-) On considère la fonction \(f\) définie par :
\(∀\, x\, ∈ ]0,+∞[, f'(x) =\frac {lnx}{1+x}+2\)
1.a) Démontrer que \(∀\, x\, ∈ ]0,+∞[ f'(x) = \frac {g(x)}{x(1+x)^2}\)
b) Dresser le tableau de variation de f.
2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection \(A\) de la courbe \((C_f)\) avec la droite \((D)\) d'équation  \(y = 2\).
3. Construire la courbe (Cf) dans le même repère \((0,i,j)\).

C-a) Justifier que \(lnβ=\frac {ß+1}{ß}\):
b) A l'aide d'une intégration par parties, démontrer que :