Sujet du BAC SM Mathématiques

EXERCICE 1
On considère l'équation \((E):\, 8x + 5y = 1\, où\, (x;y) \)est un couple de nombre entiers relatifs.
1.Donner une solution particulière de l'équation \((E)\) et résoudre l'équation \((E)\).
2.Soit N un nonibre naturel tel qu'il existe un couple (a; b) de nombres entiers vérifiant : 

  a) Montrer que le couple \((a; -b)\) est solution de l'équation \((E)\).
  b) Quel est le reste, dans la division de \(N\) par \(40\) ?
3. Résoudre l'équation : \(8x + 5y = 100,(x:y:) ∈  \Bbb Z\)?

EXERCICE 2
On considère dans le plan, un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) tel que \(AB = 2a\) et \(AC = a\) ou \(a\) est un nombre réel strictement positif donné.
1.a) Déterminer et construire le barycentre \(G\) des points pondérés \((A; 1)\), \((B; -1\)) et \((C; 1\)).
   b) Déterminer et construire l'ensemble \((C)\) des points du plan tels que : \(|| \vec {MA} - \vec {MB}+ \vec{MC}||= || \vec{MA}+ \vec{MB}-2 \vec{MC}||\)
2. Soit \(H\) le point du plan défini par : \( \vec{AH} = \frac{1}{2}\vec {AB} - \vec {AC}\) Démontrer que le point \(H\) est le barycentre des points pondérés \((A; 3\)), \((B; 1\)) et \((C; -2\))

PROBLEME

On considère la fonction f définie par : $$f(x)= \frac {x^2}{2}+x-2xlnx \; si \; x ∈ ]0,+∞[$$On appelle \((C)\) la courbe représentative de \(f\) dans le plan muni du repere orthonormé \((O,I,J)\).
A.) On considère la fonction numérique \(g\) définie sur:
\(g(x) = x-1-2lnx \)
1. Calculer les limites respectives de  \(g\)à droite en \(0\) et en \(+∞\)
2. On admet que la fonction  \(g\) est dérivable sur \(]0; +∞[\) et on note \(g'\) sa derivé.
Determiner \(g'\) et étudier son signe.
Endéduire le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.
Vérifier que \(g(1) = 0\).
3. Demontrer qu'il existe un unique réel a tel que \(\,a ∈ ]3;4[\) et g(a) = 0.
4. Déduire des questions précédentes le signe de \(g(x) \) suivant les valeurs de \(x \).

B) On considère la fonction numérique h définie et dérivable sur \(]0; +∞[\) par :
\(h(x) = 2lnx + 1 \) 
1. Démontrer que \(∀\, x\, ∈ ]3;4[;\, h(x) ∈ ]3;4[; \)
2. On considere la suite \((U_n)_{n∈ \Bbb N} \) definie par : 
     
   a) Démontrer que : Une \(∀ \,n ∈ N.U_n ∈ [3;4] \)
   b) Calculer l'arrondi d'ordre 3 de U1.
Démontrer que par récurrence que la suite (Un)n∈ \Bbb N est croissante.
c) En déduire que la suite \((U_n)_{n∈ \Bbb N} \)  est convergente.
(On admettra que la suite \((U_n)_{n∈ \Bbb N} \)  converge vers la valeur de a précédante et on prendra \(a=3,5\).

C)1. Démontrer que la fonction f est continue a droite en \(0\).
2. La fonction fest-elle dérivatle à droite en \(0\) ?
Justifier votre votre réponse. En donner une interprétation graphique.
3. Calculer la limite de \(f(x)\) quand \(x\) lend vers \(+∞\).
4. Calculer la limite de \( \frac{f(x)}{x}\) quand \(x\) lend vers \(+∞\), puis interpreter graphiquement ce résultat.
5. La fonction f est dérivable sur \(]0; +∞[ \)et on note \(f'\) sa dérivée.
Démontrer que \(∀\, x\, ∈ ]0; +∞[;\, f'(x) = g(x) \),
6. En utilisant les résultats de \(A\), déterminer le signe de \(f'\) et dresser le tableau de variation de \(f\).
Tracer la courbe \((C)\).
7. Soit t un nom!re réel tel que: \(0 < t < 1\).
En utilisant une intégration par parties, calculer l'aire A(t) de la partie du plan comprise entre la courbe \((C)\), la droite \((OI)\) et les droites d'équations: \(x=t\, et\, x = 1\).
Calculer la limite de \(A(t)\) quand \(t\) tend vers \(0\).