Sujet du BAC SM Mathématiques

Exercices 

A) On considère les trois entiers naturels $a, b, c$ qui s’écrivent dans la base $n$ : $a=111 , b=114, c=13054$

1. Sachant que $c=ab$, déterminer $n$, puis l’écriture de chacun des nombres $a,b,c$ dans le système décimal.
2. Vérifier, en utilisant l’algorithme d’Euclide, que $a$ et $b$ sont premiers entre eux. En déduire les solutions dans $\Bbb Z^2$ de l’équation $ax + by=1$.

B) Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1 ;-1$ et $2$ avec les probabilités respectives $e^a , e^b, e^c$ où $a, b, c$ sont en progression arithmétique. On suppose que l’espérance mathématique $E(X)$ de $X$ est égale à $1$.

1. Calculer $a, b, c$ et la variance $V(X)$ de $X$.
2. Soit $A,B, C$ trois points d’abscisses respectives $1 ; -1$ et $2$ d’une droite graduée $(∆)$.
   a) Calculer l’abscisse du point $G$ barycentre de $\{(A ;1), (B ;2), (C ;4)\}$.
   b) On pose : $φ(M) = \frac{1}{7}(MA^2 + 2MB^2 + 4MC^2)$ où $M$ est un point de $(∆)$. 
   Montrer que $φ(M) = V(X)$.
   c) Déterminer l’ensemble $(Γ)$ des points $M$ de $(∆)$ tels que $φ(M) = 3$. 

PROBLEME
Partie A
On considère la fonction $g$ dérivable sur $\Bbb R$ et définie par : $g(x)= (1−x)e^{1−x} − 1$

1. a) Justifier que la limite de $g$ en $+\infty$ est $−1$ b) Déterminer la limite de $g$ en $−\infty$
2. a) Démontrer que pour tout $x$ élément de $\Bbb R, g'(x) = (x − 2)e^{1−x}$
   b) Etudier les variations de $g$ et dresser son tableau de variation.
3. a) Démontrer que l’équation $x ∈ R,g(x) = 0$ admet une solution unique $α$.
   b) En déduire que :
   $∀x ∈] −\infty ; α [,g(x) > 0$
   $∀x ∈]α ; +∞ [,g(x) < 0$

Partie B
On considère la fonction $f$ dérivable sur $\Bbb R$ et définie par : $f(x)=xe^{1−x} − x + 2$.
On note $(C)$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormé $(o, i⃗ , j⃗)$. L’unité graphique est $2 cm$.

1. Déterminer les limites de f en $+∞$ et en $−∞$.
2. a) Démontrer que $f$ est une primitive de $g$. 
   b) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
3. .a) Démontrer que la droite $(D)$ d’équation $y=−x + 2$ est une asymptote oblique à $(C)$ en $+∞$