Sujet du BAC SM Mathématiques

Exercices 

A) On considère les trois entiers naturels \(a, b, c \) qui s’écrivent dans la base \(n\) : \(a=111 , b=114, c=13054\)

1. Sachant que \(c=ab\), déterminer \(n\), puis l’écriture de chacun des nombres \(a,b,c\) dans le système décimal.
2. Vérifier, en utilisant l’algorithme d’Euclide, que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux. En déduire les solutions dans \( \Bbb Z^2\) de l’équation \(ax + by=1\).

B) Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(1 ;-1\) et \(2\) avec les probabilités respectives \(e^a , e^b, e^c\) où \(a, b, c\) sont en progression arithmétique. On suppose que l’espérance mathématique \(E(X)\) de \(X\) est égale à \(1\).

1. Calculer \(a, b, c\) et la variance \(V(X)\) de \(X\).
2. Soit \(A,B, C\) trois points d’abscisses respectives \(1 ; -1\) et \(2\) d’une droite graduée \((∆)\).
   a) Calculer l’abscisse du point \(G\) barycentre de \( \{(A ;1), (B ;2), (C ;4)\} \).
   b) On pose : \( φ(M) = \frac{1}{7}(MA^2 + 2MB^2 + 4MC^2) \) où \(M\) est un point de \((∆)\). 
   Montrer que \(φ(M) = V(X)\).
   c) Déterminer l’ensemble \((Γ)\) des points \(M\) de \((∆)\) tels que \(φ(M) = 3\). 

PROBLEME
Partie A
On considère la fonction \(g\) dérivable sur \( \Bbb R\) et définie par : \(g(x)= (1−x)e^{1−x} − 1\)

1. a) Justifier que la limite de \(g\) en \(+\infty\) est \(−1\) b) Déterminer la limite de \(g\) en \(−\infty\)
2. a) Démontrer que pour tout \(x\) élément de \( \Bbb R, g'(x) = (x − 2)e^{1−x}\)
   b) Etudier les variations de \(g\) et dresser son tableau de variation.
3. a) Démontrer que l’équation \(x ∈ R,g(x) = 0\) admet une solution unique \(α\).
   b) En déduire que :
   \(∀x ∈] −\infty ; α [,g(x) > 0\)
   \( ∀x ∈]α ; +∞ [,g(x) < 0\)

Partie B
On considère la fonction \(f\) dérivable sur \( \Bbb R\) et définie par : \(f(x)=xe^{1−x} − x + 2\).
On note \((C)\) sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormé \((o, i⃗ , j⃗)\). L’unité graphique est \(2 cm\).

1. Déterminer les limites de f en \(+∞\) et en \(−∞\).
2. a) Démontrer que \(f\) est une primitive de \(g\). 
   b) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
3. .a) Démontrer que la droite \((D)\) d’équation \(y=−x + 2\) est une asymptote oblique à \((C)\) en \(+∞\)