Sujet du BAC SM Mathématiques

Exercice 1

1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a :
    $$ \sum_{k=1}^{n} k(n-k)=\frac{(n-1)n(n+1)}{6} $$
2. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) : \(10^{9n+2} +10^{6n+1}+1\) est divisible par \(111\).
3. a) Décomposer \(469\) en produit de facteurs premiers. b) Résoudre dans \( \Bbb N^2\) l’équation :\(x^3 − y^3 = 469\)

Exercice 2
Le plan complexe est muni du repère orthonormé \((o,\vec u, \vec v)\) direct. Soit \(z ∈ C\) où \(C\) désigne l′ensemble des nombres complexes.Posons \(Z= x + iy\), \(x\) et \(y\) réels. 

1. Soit \(M(z)\) un point du plan complexe et \(M’ (z’)\) l’image de \(M\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(θ\). Exprimer \(z’\) en fonction de \(z\) et \(θ\).
2. On considère dans \(C\) l’équation \((E)\) d’inconnue \(z\) qui suit, 
   \((E) :\frac{1}{2}z^2 + 4z\sqrt 3 + 32 = 0 \)
   Résoudre l’équation \((E)\).
3. On considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives \(a=−4\sqrt 3 − 4i\) et \(b= a=−4\sqrt 3 + 4i\).
   Calculer \(OA\), \(OB\) et \(AB\). En déduire la nature du triangle \(OAB\).
4. On désigne par \(C\) le point d’affixe \(c=\sqrt 3 + i\) et par \(D\) son image par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\) . Déterminer l’affixe du point \(D\).
5. On appelle \(G\) le barycentre des points pondérés \((0 ;1)\) ; \((D, −1)\) et \((B, −1)\).
   a) Montrer que le point \(G\) a pour affixe \(q=−4\sqrt 3 + 6i\)
   b) Placer les points \(A, B ,C\) et \(G\) sur une figure(unité graphique \(1cm\))
6. Déterminer une mesure en radians de l’angle \((\vec {GA},\vec{GC})\) . 
   En déduire la nature du triangle \(GAC\).

PROBLEME

Partie A
Soit la fonction numérique dérivable sur \(]0 ;+∞[\) et définie par : \(g (x)= \frac{2x+1}{x^2} + lnx \)

1. a) calculer \( ^\lim_{x→+∞} g(x) \)
   b) calculer \(^\lim_{x→0^+} g(x)\)
2. a) Démontrer que :
   \(∀x ∈]0 ;+∞[, g′ (x)= \frac{x^2+2x+2}{x^3}\)
   b) En déduire le sens de variation de \(g\).
   c) Dresser le tableau de variation de la fonction \(g\).
3. a) Démontrer que l’équation \(g (x)=0,∀x ∈]0 ;+∞[ \) admet une solution unique. 
   b) Justifier que \(2,55 < a < 2,56\)
   c) Démontrer que :\( \left\{\begin{matrix}
   ∀x ∈]a;+∞[,g(x)<0 & \\
   ∀x ∈]a;+∞[,g(x)<0 &
   \end{matrix}\right.\)

Partie B 

On considère la fonction f dérivable sur \(]0 ;+∞[\) et définie par :
\(f(x)=(\frac{1}{x} − lnx)e^{−x}\)
On note \((C)\) la courbe représentative de \(f\) dans le plan muni d’un repère orthonormé \((0,\vec i ,\vec j) \).
(Unité graphique : \(OI=2cm\) et \(OJ=10 cm\)).

1. a) calculer \(^\lim_{x→0^>} f(x) \) puis donner une interprétation graphique du résultat.
   b) Calculer \(^\lim_{x→+∞} f(x)\) puis donner une interprétation graphique du résultat.
2. Démontrer que : \(f (x)=\frac{− 1+a}{a^2}e^{-a}\)
3. a) Démontrer que : \(∀x ∈]0;+∞[,f′(x) = e^{−a} × g(x)\)
   b) En utilisant la partie \(A\), déterminer les variations de \(f\).
   c) Dresser le tableau de variation de \(f\).
4. Démontrer qu’une équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((C)\) au point d’abscisse \(1\) est \(y=−\frac{3}{e}+ \frac{4}{e}\)
5. Construire \((T)\) et la courbe \((C)\) dans le plan muni du repère \((0,\vec i ,\vec j )\).On prendra \(e= 2,6\).

Partie C
Soit \(h\) la fonction dérivable sur \(]0;+∞[\) et définie par: \(h(x) = e^{−x}lnx\) Démontrer que \(h\) est une primitive de \(f\) sur \(]0;+∞[\). Soit \(Υ\) un nombre réel tel \(Υ> 3\).
a) Calculer, en \(cm^2\) et en fonction de \(Υ\), l’aire \(A(Υ)\) de la partie du plan comprise entre \((C)\), \((OI)\) et les droites d’équation \(x=3\) et \(x= Υ\). Calculer \(^\lim_{Υ→+∞} A(Υ)\)