Sujet du BAC SM Mathématiques

Exercice 1

1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
     $$\sum_{k=1}^{n} k(n-k)=\frac{(n-1)n(n+1)}{6}$$
2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $10^{9n+2} +10^{6n+1}+1$ est divisible par $111$.
3. a) Décomposer $469$ en produit de facteurs premiers. b) Résoudre dans $\Bbb N^2$ l’équation :$x^3 − y^3 = 469$

Exercice 2
Le plan complexe est muni du repère orthonormé $(o,\vec u, \vec v)$ direct. Soit $z ∈ C$ où $C$ désigne l′ensemble des nombres complexes.Posons $Z= x + iy$, $x$ et $y$ réels. 

1. Soit $M(z)$ un point du plan complexe et $M’ (z’)$ l’image de $M$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $θ$. Exprimer $z’$ en fonction de $z$ et $θ$.
2. On considère dans $C$ l’équation $(E)$ d’inconnue $z$ qui suit, 
   $(E) :\frac{1}{2}z^2 + 4z\sqrt 3 + 32 = 0$
   Résoudre l’équation $(E)$.
3. On considère les points $A$ et $B$ d’affixes respectives $a=−4\sqrt 3 − 4i$ et $b= a=−4\sqrt 3 + 4i$.
   Calculer $OA$, $OB$ et $AB$. En déduire la nature du triangle $OAB$.
4. On désigne par $C$ le point d’affixe $c=\sqrt 3 + i$ et par $D$ son image par la rotation de centre $O$ et d’angle $\frac{\pi}{3}$ . Déterminer l’affixe du point $D$.
5. On appelle $G$ le barycentre des points pondérés $(0 ;1)$ ; $(D, −1)$ et $(B, −1)$.
   a) Montrer que le point $G$ a pour affixe $q=−4\sqrt 3 + 6i$
   b) Placer les points $A, B ,C$ et $G$ sur une figure(unité graphique $1cm$)
6. Déterminer une mesure en radians de l’angle $(\vec {GA},\vec{GC})$ . 
   En déduire la nature du triangle $GAC$.

PROBLEME

Partie A
Soit la fonction numérique dérivable sur $]0 ;+∞[$ et définie par : $g (x)= \frac{2x+1}{x^2} + lnx$

1. a) calculer $^\lim_{x→+∞} g(x)$
   b) calculer $^\lim_{x→0^+} g(x)$
2. a) Démontrer que :
   $∀x ∈]0 ;+∞[, g′ (x)= \frac{x^2+2x+2}{x^3}$
   b) En déduire le sens de variation de $g$.
   c) Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
3. a) Démontrer que l’équation $g (x)=0,∀x ∈]0 ;+∞[$ admet une solution unique. 
   b) Justifier que $2,55 < a < 2,56$
   c) Démontrer que :$\left\{\begin{matrix} ∀x ∈]a;+∞[,g(x)<0 & \\ ∀x ∈]a;+∞[,g(x)<0 & \end{matrix}\right.$

Partie B 

On considère la fonction f dérivable sur $]0 ;+∞[$ et définie par :
$f(x)=(\frac{1}{x} − lnx)e^{−x}$
On note $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d’un repère orthonormé $(0,\vec i ,\vec j)$.
(Unité graphique : $OI=2cm$ et $OJ=10 cm$).

1. a) calculer $^\lim_{x→0^>} f(x)$ puis donner une interprétation graphique du résultat.
   b) Calculer $^\lim_{x→+∞} f(x)$ puis donner une interprétation graphique du résultat.
2. Démontrer que : $f (x)=\frac{− 1+a}{a^2}e^{-a}$
3. a) Démontrer que : $∀x ∈]0;+∞[,f′(x) = e^{−a} × g(x)$
   b) En utilisant la partie $A$, déterminer les variations de $f$.
   c) Dresser le tableau de variation de $f$.
4. Démontrer qu’une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ au point d’abscisse $1$ est $y=−\frac{3}{e}+ \frac{4}{e}$
5. Construire $(T)$ et la courbe $(C)$ dans le plan muni du repère $(0,\vec i ,\vec j )$.On prendra $e= 2,6$.

Partie C
Soit $h$ la fonction dérivable sur $]0;+∞[$ et définie par: $h(x) = e^{−x}lnx$ Démontrer que $h$ est une primitive de $f$ sur $]0;+∞[$. Soit $Υ$ un nombre réel tel $Υ> 3$.
a) Calculer, en $cm^2$ et en fonction de $Υ$, l’aire $A(Υ)$ de la partie du plan comprise entre $(C)$, $(OI)$ et les droites d’équation $x=3$ et $x= Υ$. Calculer $^\lim_{Υ→+∞} A(Υ)$