Sujet du BAC SM Mathématiques

EXERCICE 1
Dans une urne, il y a \(n\) boules rouges et \(2n\) boules blanches. On tire simultanément \(p\) boules de l'urne avec \(p <n.\)

1. Si \(n = 5\) et \(p = 4\), calculer les probabilités des événements suivants :
   A « Obtenir deux boules rouges et deux boules blanches»
   B « Obtenir au moins une boule blanche ». (On donnera les résultats sous de fractions irréductibles).
2. On suppose que \(p = 2\) et \(n\) un entier quelconque tel que \(n \geq 2\).
   a) Calculer la probabilité \(P_n\) d'obtenir deux boules de même couleur.
   b) Démontrer que la suite \((P_n)_{n \geq 2}\) est majorée par \(1\). Quel est le sens de variation de \((P_n)_{n \geq 2}\)?
   c) Déduire de la question précédente que \((P_n)_{n \geq 2}\) est convergente et calculer sa limite.

EXERCICE 2
Partie A

1.  
   1. On désigne par \(n\) un entier relatif quelconque, on pose : \(A = n - 1\) et \(B = n^2 – 3n+6\)
      1. Montrer que le \(PGCD\) égal au \(PGCD\) de \(A\) et \(4\).
      2. Déterminer suivant les valeurs de \(n\) le \(PGCD\) de \(A\) et \(B\). 
   2. Pour quelles valeurs de l'entier relatif \(n\), le nombre \( \frac{n^2-3n+6}{n-1}\) est-il entier rélatif? 
2. Pour tout couple \((a; b)\) d'entiers naturels, on désigne par \( \mu\) leur \(PPCM\) et par \( \delta\) leur \(PGCD\).
   1. Déterminer les couples \((a; b)\) d'entiers naturels tels que : \(2 \mu + 3\delta = 11\).
   2. Dresser la liste des diviseurs de \(108\).
      Déterminer les couples \((a; b)\) d'entiers naturels tels que : \( \mu - 3 \delta = 108\) et \(10 < \delta <15\).

Partie B
On considère trois points non alignés \(A, B\) et \(C\) de l'espace. On désigne par \(G_1\) le barycentre des points pondérés \((A,3); (B.2)\) et \((C, -1)\) et par \(G_2\) le barycentre des points pondérés \((A, 2); (B, 1)\) et \((C, 1)\).

1. a)Calculer \( \vec{G_1G_2}\), en fonction de \( \vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
   b) En déduire que \(G_1 \not = G_2\)
2. A tout point \(M\) de l'espace on fait correspondre le point \(M_1\) tel que : \( \vec{MM_1} = 3\vec{MA} + 2\vec{MB} - \vec{MC}\). 
   1. Démontrer que si \(M\) décrit une droite \((D)\) de l'espace, \(M_1\) décrit la droite \(( \Delta ) \) image de \((D)\) par une homothétie que l'on précisera.
   2. Démontrer que le vecteur \( \vec{M_1M_2}\), reste constant quand \(M\) décrit l'espace.
3. Déterminer l'ensemble \((S)\) des points \(M\) de l'espace tels que :
   \( \vec{MM_1} \times \vec{MM_2} = 0\).

PROBLÈME

Partie A
Dans tout le problème, les fonctions étudiées sont dérivables sur \(]0; + \infty[\).
On considère la fonction \(h\) définie sur \(]0; +\infty[\) par:
\(h(x) = 1 + \frac{1}{x^2} - 2lnx\)

1. Calculer les limites de \(h\) en \(+ \infty\) et à droite en \(0\).
2. On note \(h'\) la dérivée de \(h\); démontrer que : \(\forall x \in ]0; +\infty [,\)
   \(h'(x)=\frac{-2(1 + x^2)}{x^3}\)
3. Démontrer que l'équation \(h(x) = 0\) admet une solution unique \(x_0\) dans \(]1; +\infty[\). En déduire le signe de \(h\).

Partie B
On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0; +\infty [\) par : \(g(x) = x^2(1 – lnx) + 1 + lnx\)

1. Calculer les limites de \(g\) en \(+ \infty\) et à droite en \(0\).  
2. On note \(g'\) la dérivée de \(g\); démontrer que: \( \forall x \in ]0; +\infty[\) \(g'(x) = xh(x)\).
   Démontrer que \(g(x_0) > 0\).
3. Démontrer que l'équation \(g(x) = 0\) admet une solution unique \(x_1\) en \(]0; 1[\).
4. On admet que l'équation \(g(x) = 0\) admet une solution unique \(x_2\) en  \(]x_0; +\infty[\)
   a) Déterminer le signe de \(g\).
   b) Démontrer que \(x_1 \in ]0,3; 0,4[\) et \(x_2 \in ]3,3; 3,4[\).

Partie C
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : 
\(f(0)=0\) et \(\forall x \in ]0;+\infty[ , f(x) = \frac{xlnx}{1+x^2}\)

1. Démontrer que \(f\) est continue à droite en \(0\) mais non dérivable à droite en 0.
2.  Calculer la limite de \(f\) en \(+\infty\) puis interpréter graphiquement ce resultat.
3. On note \(f'\) la dérivée de \(f\); démontrer que:
   \( \forall x \in ]0; +\infty[, f'(x) = \frac{g(x)}{(1+x^2)^2}\)
4. Dresser le tableau de variation de \(f\).
5. Démontrer que si \(\alpha\) est une solution de l'équation \(g(x) = 0\), alors : 
   \(ln \alpha = \frac{\alpha ^2 +1}{\alpha ^2 -1}\) et endéduire \(f(\alpha)\).
6. En déduire que \(f(x_1) < 0\) et \(f(x_2) > 0\). Vérifier que \(f(1) = 0\), puis en déduire le signe de \(f\).
7. Tracer la courbe représentative \((C_f)\) de \(f\) dans le plan muni du repère orthogonal \((0,\vec I,\vec J)\).