Sujet du BAC SM Mathématiques

EXERCICE 1
Dans une urne, il y a $n$ boules rouges et $2n$ boules blanches. On tire simultanément $p$ boules de l'urne avec $p <n.$

1. Si $n = 5$ et $p = 4$, calculer les probabilités des événements suivants :
   A « Obtenir deux boules rouges et deux boules blanches»
   B « Obtenir au moins une boule blanche ». (On donnera les résultats sous de fractions irréductibles).
2. On suppose que $p = 2$ et $n$ un entier quelconque tel que $n \geq 2$.
   a) Calculer la probabilité $P_n$ d'obtenir deux boules de même couleur.
   b) Démontrer que la suite $(P_n)_{n \geq 2}$ est majorée par $1$. Quel est le sens de variation de $(P_n)_{n \geq 2}$?
   c) Déduire de la question précédente que $(P_n)_{n \geq 2}$ est convergente et calculer sa limite.

EXERCICE 2
Partie A

1.  
   1. On désigne par $n$ un entier relatif quelconque, on pose : $A = n - 1$ et $B = n^2 – 3n+6$
      1. Montrer que le $PGCD$ égal au $PGCD$ de $A$ et $4$.
      2. Déterminer suivant les valeurs de $n$ le $PGCD$ de $A$ et $B$. 
   2. Pour quelles valeurs de l'entier relatif $n$, le nombre $\frac{n^2-3n+6}{n-1}$ est-il entier rélatif? 
2. Pour tout couple $(a; b)$ d'entiers naturels, on désigne par $\mu$ leur $PPCM$ et par $\delta$ leur $PGCD$.
   1. Déterminer les couples $(a; b)$ d'entiers naturels tels que : $2 \mu + 3\delta = 11$.
   2. Dresser la liste des diviseurs de $108$.
      Déterminer les couples $(a; b)$ d'entiers naturels tels que : $\mu - 3 \delta = 108$ et $10 < \delta <15$.

Partie B
On considère trois points non alignés $A, B$ et $C$ de l'espace. On désigne par $G_1$ le barycentre des points pondérés $(A,3); (B.2)$ et $(C, -1)$ et par $G_2$ le barycentre des points pondérés $(A, 2); (B, 1)$ et $(C, 1)$.

1. a)Calculer $\vec{G_1G_2}$, en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
   b) En déduire que $G_1 \not = G_2$
2. A tout point $M$ de l'espace on fait correspondre le point $M_1$ tel que : $\vec{MM_1} = 3\vec{MA} + 2\vec{MB} - \vec{MC}$. 
   1. Démontrer que si $M$ décrit une droite $(D)$ de l'espace, $M_1$ décrit la droite $( \Delta )$ image de $(D)$ par une homothétie que l'on précisera.
   2. Démontrer que le vecteur $\vec{M_1M_2}$, reste constant quand $M$ décrit l'espace.
3. Déterminer l'ensemble $(S)$ des points $M$ de l'espace tels que :
   $\vec{MM_1} \times \vec{MM_2} = 0$.

PROBLÈME

Partie A
Dans tout le problème, les fonctions étudiées sont dérivables sur $]0; + \infty[$.
On considère la fonction $h$ définie sur $]0; +\infty[$ par:
$h(x) = 1 + \frac{1}{x^2} - 2lnx$

1. Calculer les limites de $h$ en $+ \infty$ et à droite en $0$.
2. On note $h'$ la dérivée de $h$; démontrer que : $\forall x \in ]0; +\infty [,$
   $h'(x)=\frac{-2(1 + x^2)}{x^3}$
3. Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $x_0$ dans $]1; +\infty[$. En déduire le signe de $h$.

Partie B
On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty [$ par : $g(x) = x^2(1 – lnx) + 1 + lnx$

1. Calculer les limites de $g$ en $+ \infty$ et à droite en $0$.  
2. On note $g'$ la dérivée de $g$; démontrer que: $\forall x \in ]0; +\infty[$ $g'(x) = xh(x)$.
   Démontrer que $g(x_0) > 0$.
3. Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $x_1$ en $]0; 1[$.
4. On admet que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $x_2$ en  $]x_0; +\infty[$
   a) Déterminer le signe de $g$.
   b) Démontrer que $x_1 \in ]0,3; 0,4[$ et $x_2 \in ]3,3; 3,4[$.

Partie C
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par : 
$f(0)=0$ et $\forall x \in ]0;+\infty[ , f(x) = \frac{xlnx}{1+x^2}$

1. Démontrer que $f$ est continue à droite en $0$ mais non dérivable à droite en 0.
2.  Calculer la limite de $f$ en $+\infty$ puis interpréter graphiquement ce resultat.
3. On note $f'$ la dérivée de $f$; démontrer que:
   $\forall x \in ]0; +\infty[, f'(x) = \frac{g(x)}{(1+x^2)^2}$
4. Dresser le tableau de variation de $f$.
5. Démontrer que si $\alpha$ est une solution de l'équation $g(x) = 0$, alors : 
   $ln \alpha = \frac{\alpha ^2 +1}{\alpha ^2 -1}$ et endéduire $f(\alpha)$.
6. En déduire que $f(x_1) < 0$ et $f(x_2) > 0$. Vérifier que $f(1) = 0$, puis en déduire le signe de $f$.
7. Tracer la courbe représentative $(C_f)$ de $f$ dans le plan muni du repère orthogonal $(0,\vec I,\vec J)$.