Sujet du BAC SM Mathématiques

Exercice 1   (4 pts) 

Soit \(f\) la fonction definie sur \(\Bbb R_+\) par \(f(x) = \frac{e^x}{e^x+1}\)

1. Déterminer une primitive de \(f\) sur \( \Bbb R_+\)
2. Soit la suite \((U_n)\) definie par \(n > 0\) par : \(U_n = \int_{ln⁡(n)}^{ln⁡(n+1)} f(x)dx\) . Exprimer \(U_n\) en fonction de \(n\) 
3. Montrer que \((U_n)\) est une suite décroissante positive. Que peut-on en déduire ? Calculer la limite de \(U_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+∞\).
4. On pose : \(S_n = U_1 + U_2 + ⋯+ U_n\)
   a) Calculer \(S_1,S_2⁡\) et⁡ \(S_3\). Exprimer \(S_n\) en fonction de\(n\)
   b) Calculer la limite de \(S_n\) lorsque \(n\) tend vers⁡ \(+∞\). 

Exercice 2  (4 pts) 

Une variable aléatoire aléatoire X prend les valeurs \(1 ; -1\) et \(2\) avec les probabilités respectives \(e^α,e^β,e^γ\) où \(α, β, Υ\) sont en progression arithmétique. 

On suppose que l’espérance mathématique \(E(X)\) de \(X\) ⁡est égale à \(⁡1\).

1. Calculer \(α, β, Υ\) et la variance \(V(X)\) de \(X\)
2. Soient \(A,B,C\) trois points d’abscisses respectives \(1 ; -1\) et \(2\) d’une droite graduée \((∆)\)
   a) Calculer l’abscisse du point \(G\) barycentre de \(\{(A, 1),(B,2),(C,4)\}\)
   b) On pose ; \(φ(M) = \frac{1}{7}(MA^2 + 2MB^2 + 4MC^2) \) où \(M\) est un point de \((∆)\). Montrer que \(φ(G) = V(X)\)
   c) Déterminer l’ensemble \((Γ)\) des points \(M\) tels que \(φ(M) = 3\)

Problème  (12 pts) 

Partie A 

On considère la fonction \(f\) definie par \(R\) par \(f(x) = e^{−x}ln⁡(1 + e^x)\) . On note \((C)\) sa courbe representative dans le plan rapporté au repère orthogonal \((O,i⃗,j⃗)\). L’unité graphique est \(1cm\) sur l’axe des abscisses et \(10cm\) sur l’axe des ordonnées.

1. a) On rappelle que \( ^\lim_{h→0} \frac { ln⁡(1+h) }{h}=1\).
   Déterminer la limite de \(f\) en \(+∞\).
   b) Vérifier que pour tout réel \(x\):
   \(f(x) = \frac{x}{e^x}+e^{-x}ln(1+e^{-x})\)
   Determiner la limite de \(f\) en \(−∞\)
   c) En déduire que la courbe \((C)\) admet deux asymptotes que l’on précisera.
2. On considère la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \(] − 1 ;+∞[\) par \(g(t) = \frac{t}{1+t}− ln(1 + t)\)
   a) Démontrer que la fonction \(g\) est strictement décroissante sur l’intervalle \([0;+∞[\)
   b) En déduire le signe \(g(t)\) lorsque⁡ \(t > 0\).
3. Calculer \(f′(x)\) et l’exprimer en fonction de \(g(e^x), f′\) désignant la fonction dérivée de \(⁡f\). En déduire le sens de variation de la fonction \(f⁡\) puis dresser son tableau de variation. 
4. Tracer les asymptotes à la courbe \((C)\) et la courbe \(⁡(C)\). 

Partie B 

Soit \(F\) la fonction definie sur \( \Bbb R\) par : \(F(x) = \int_0^x f(t)dt\)

1. Étudier le sens de variation de la fonction \(F\)
2. Vérifier que, pour tout nombre réel⁡ \(t, \frac{1}{1+e^t}= 1 −\frac{e^t}{1+e^t}\) et calculer \(\int_0^x \frac{dt}{1+e^t}\)
   a) En déduire, à l’aide d’une intégration par parties, le calcul de \(F(x)\)
   b) Vérifier que \(F(x)\) peut s’écrire sous les formes suivantes : 
   (1) \(F(x) = x − ln(1 + e^x) − f(x) + 2ln2 \) 
   (2) \( ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡F(x) = ln(\frac{e^x}{1+e^x})− f(x) + 2ln2\)             
3. Déterminer \(^\lim_{x→−∞}F(x)\)
4. Déterminer \(^\lim_{x→−∞} (F(x) − x)\). Donner une interprétation graphique de ce résultat. 
   On donne : \(ln2 ≈ 0,69\)