Sujet du BAC SM Mathématiques

Exercice 1   (4 pts) 

Soit $f$ la fonction definie sur $\Bbb R_+$ par $f(x) = \frac{e^x}{e^x+1}$

1. Déterminer une primitive de $f$ sur $\Bbb R_+$
2. Soit la suite $(U_n)$ definie par $n > 0$ par : $U_n = \int_{ln⁡(n)}^{ln⁡(n+1)} f(x)dx$ . Exprimer $U_n$ en fonction de $n$ 
3. Montrer que $(U_n)$ est une suite décroissante positive. Que peut-on en déduire ? Calculer la limite de $U_n$ lorsque $n$ tend vers $+∞$.
4. On pose : $S_n = U_1 + U_2 + ⋯+ U_n$
   a) Calculer $S_1,S_2⁡$ et⁡ $S_3$. Exprimer $S_n$ en fonction de$n$
   b) Calculer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers⁡ $+∞$. 

Exercice 2  (4 pts) 

Une variable aléatoire aléatoire X prend les valeurs $1 ; -1$ et $2$ avec les probabilités respectives $e^α,e^β,e^γ$ où $α, β, Υ$ sont en progression arithmétique. 

On suppose que l’espérance mathématique $E(X)$ de $X$ ⁡est égale à $⁡1$.

1. Calculer $α, β, Υ$ et la variance $V(X)$ de $X$
2. Soient $A,B,C$ trois points d’abscisses respectives $1 ; -1$ et $2$ d’une droite graduée $(∆)$
   a) Calculer l’abscisse du point $G$ barycentre de $\{(A, 1),(B,2),(C,4)\}$
   b) On pose ; $φ(M) = \frac{1}{7}(MA^2 + 2MB^2 + 4MC^2)$ où $M$ est un point de $(∆)$. Montrer que $φ(G) = V(X)$
   c) Déterminer l’ensemble $(Γ)$ des points $M$ tels que $φ(M) = 3$

Problème  (12 pts) 

Partie A 

On considère la fonction $f$ definie par $R$ par $f(x) = e^{−x}ln⁡(1 + e^x)$ . On note $(C)$ sa courbe representative dans le plan rapporté au repère orthogonal $(O,i⃗,j⃗)$. L’unité graphique est $1cm$ sur l’axe des abscisses et $10cm$ sur l’axe des ordonnées.

1. a) On rappelle que $^\lim_{h→0} \frac { ln⁡(1+h) }{h}=1$.
   Déterminer la limite de $f$ en $+∞$.
   b) Vérifier que pour tout réel $x$:
   $f(x) = \frac{x}{e^x}+e^{-x}ln(1+e^{-x})$
   Determiner la limite de $f$ en $−∞$
   c) En déduire que la courbe $(C)$ admet deux asymptotes que l’on précisera.
2. On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $] − 1 ;+∞[$ par $g(t) = \frac{t}{1+t}− ln(1 + t)$
   a) Démontrer que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+∞[$
   b) En déduire le signe $g(t)$ lorsque⁡ $t > 0$.
3. Calculer $f′(x)$ et l’exprimer en fonction de $g(e^x), f′$ désignant la fonction dérivée de $⁡f$. En déduire le sens de variation de la fonction $f⁡$ puis dresser son tableau de variation. 
4. Tracer les asymptotes à la courbe $(C)$ et la courbe $⁡(C)$. 

Partie B 

Soit $F$ la fonction definie sur $\Bbb R$ par : $F(x) = \int_0^x f(t)dt$

1. Étudier le sens de variation de la fonction $F$
2. Vérifier que, pour tout nombre réel⁡ $t, \frac{1}{1+e^t}= 1 −\frac{e^t}{1+e^t}$ et calculer $\int_0^x \frac{dt}{1+e^t}$
   a) En déduire, à l’aide d’une intégration par parties, le calcul de $F(x)$
   b) Vérifier que $F(x)$ peut s’écrire sous les formes suivantes : 
   (1) $F(x) = x − ln(1 + e^x) − f(x) + 2ln2$ 
   (2) $⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡F(x) = ln(\frac{e^x}{1+e^x})− f(x) + 2ln2$             
3. Déterminer $^\lim_{x→−∞}F(x)$
4. Déterminer $^\lim_{x→−∞} (F(x) − x)$. Donner une interprétation graphique de ce résultat. 
   On donne : $ln2 ≈ 0,69$