Sujet du BAC SM Mathématiques

Exercice 1 (5 pts)

1. a) Calculer $(1+\sqrt 6 )^2; (1+\sqrt 6)^4; (1+\sqrt 6)^6$
   b) Appliquer l'algorithme d'Euclide à $847$ et $342$. Que peut-on en déduire?
2. Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $a_n$ et $b_n$ les entiers naturels tels que: $$(1+\sqrt 6)^n= a_n+b_ n\sqrt 6$$ Que valent $a_1$ et $b_1$ ?
   D'après les calculs de la question 1) a) donner d'autres valeurs de $a_n$ et $b_n$.
   a) Calculer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
   b) Démontrer que, si $5$ ne divise pas $a_n + b_n$ alors $5$ ne divise pas non plus $a_{n+1} + b_{n+1}$.
   En déduire que, quelque soit $n$ entier naturel non nul,  $a_n$ et $b_n$ sont premiers entre eux.

Exercice 2 (11 pts)

Le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec {e_1},\vec {e_2})$.
À tout point $M$ d'affixe $z$, on fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z = z^2 - 4z$.

1. Calculer les coordonnées $(X;Y)$ du point $M'$ en fonction des coordonnées $(X;Y)$ du point $M$.
2. a) Démontrer que l'ensemble $(H)$ des points $M$ du plan tels que $z$ soit un nombre imaginaire pur est une hyperbole.
   b) Préciser dans le repère $(O,\vec {e_1},\vec {e_2})$, les coordonnées du centre $O$, celles des sommets et les équations des asymptotes de $(H)$.
3. Soit $P$ le point d'affixe $-\frac{5}{2}-2i$
   Déterminer les points $M$ du plan tels que le quadrilatère $OMM'P$ soit parallelogramme.

PROBLÈMES (11 points)

Étude préliminaire:

On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+∞[$ par: $g(x)=ln(1+x)-x$.

1. Étudier le sens de variation de $g$.
2. En dédure que pour tout réel $a$ positif ou nul, $ln(1+a) \leq a$

PARTIE A:

On considère la fonction $f_k$, définie sur $[0;+\infty [$     par:  $f_1(x)=ln(e^x+x)-x$

1. Calculer $f_1'(x)$ pour tout réel x appartenant à l'intervalle $[0;+\infty [$  et en déduire le sens de variation de la fonction $f_1$.
2. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0;+\infty [$. En déduire la limite de $f_1$ en $+∞$
3. Dresser le tableau de variation de $f_1$.

PARTIE B:

On considère la fonction $f_k$ définie sur $[0;+\infty [$ par $f_k(x)=ln(e^x+kx)-x$ .

Soit $(C_K)$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $(o,\vec i, \vec j)$  (unités graphiques: $5cm$ sur l'axe des abscisses et $10cm$ sur l'axe des ordonnées).

1. Calculer $f_k'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle    et en déduire le sens de variation de la fonction $f_k$.
2. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0;+\infty [, f_k'(x)=ln(1+k\frac{x}{e^x})$
   En déduire la limite de $f_k$ en $+∞$.
3. a) Dresser le tableau de variation de $f_k$.
   b) Montrer que pour tout réel x de $[0;+\infty [$, on a $f_k(x) \leq \frac k e$
4. Déterminer l'équation de la tangente $(T_k)$ à $(C_K)$ au point $O$.
   5) Soit $p$ et $m$ deux réels strictement positifs tels que $p < m$.  Étudier la position relative de $(C_p)$ et $(C_m)$.

 6) Tracer les courbes $(C_1)$ et $(C_2)$ ainsi que leurs tangentes respectives $(T_1)$ et $(T_2)$ en $O$.

PARTIE C:

Soit $λ$ un réel strictement positif, on note $A(λ)$ l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $(C_K)$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=λ$.

1. Sans calculer $A(λ)$, montrer que: $A(λ)\leq k \int_0^λxe^{-x}dx$   
   (on pourra utiliser le résultat de la question préliminaire).
2. Calculer à l'aide d'une intégration par parties l'intégrale $\int_0^λxe^{-x}dx$  
3. On admet que $A(λ)$ admet une limite en $+∞$. Montrer que  $^\lim_{λ \to +\infty}A(λ) \leq k$
   Interpréter graphiquement ce résultat.