Sujet du BAC SM Mathématiques

Exercice 1 (5 pts)

1. a) Calculer \( (1+\sqrt 6 )^2; (1+\sqrt 6)^4; (1+\sqrt 6)^6\)
   b) Appliquer l'algorithme d'Euclide à \(847\) et \(342\). Que peut-on en déduire?
2. Soit \(n\) un entier naturel non nul. On note \(a_n\) et \(b_n\) les entiers naturels tels que:\[(1+\sqrt 6)^n= a_n+b_ n\sqrt 6\]Que valent \(a_1\) et \(b_1\) ?
   D'après les calculs de la question 1) a) donner d'autres valeurs de \(a_n\) et \(b_n\).
   a) Calculer \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) en fonction de \(a_n\) et \(b_n\).
   b) Démontrer que, si \(5\) ne divise pas \(a_n + b_n\) alors \(5\) ne divise pas non plus \(a_{n+1} + b_{n+1}\).
   En déduire que, quelque soit \(n\) entier naturel non nul,  \(a_n\) et \(b_n\) sont premiers entre eux.

Exercice 2 (11 pts)

Le plan est muni du repère orthonormé \((O,\vec {e_1},\vec {e_2})\).
À tout point \(M\) d'affixe \(z\), on fait correspondre le point \(M'\) d'affixe \(z'\) telle que \(z = z^2 - 4z\).

1. Calculer les coordonnées \((X;Y)\) du point \(M'\) en fonction des coordonnées \((X;Y)\) du point \(M\).
2. a) Démontrer que l'ensemble \((H)\) des points \(M\) du plan tels que \(z\) soit un nombre imaginaire pur est une hyperbole.
   b) Préciser dans le repère \((O,\vec {e_1},\vec {e_2})\), les coordonnées du centre \(O\), celles des sommets et les équations des asymptotes de \((H)\).
3. Soit \(P\) le point d'affixe \(-\frac{5}{2}-2i\)
   Déterminer les points \(M\) du plan tels que le quadrilatère \(OMM'P\) soit parallelogramme.

PROBLÈMES (11 points)

Étude préliminaire:

On considère la fonction \(g\) définie sur \([0;+∞[\) par: \( g(x)=ln(1+x)-x\).

1. Étudier le sens de variation de \(g\).
2. En dédure que pour tout réel \(a\) positif ou nul, \(ln(1+a) \leq a \)

PARTIE A:

On considère la fonction \(f_k\), définie sur \( [0;+\infty [\)     par:  \( f_1(x)=ln(e^x+x)-x\)

1. Calculer \( f_1'(x)\) pour tout réel x appartenant à l'intervalle \( [0;+\infty [\)  et en déduire le sens de variation de la fonction \(f_1\).
2. Montrer que, pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \( [0;+\infty [\). En déduire la limite de \( f_1 \) en \(+∞ \)
3. Dresser le tableau de variation de \( f_1 \).

PARTIE B:

On considère la fonction \(f_k\) définie sur \( [0;+\infty [\) par \( f_k(x)=ln(e^x+kx)-x\) .

Soit \((C_K)\) la courbe représentative de la fonction \( f_k\) dans le plan muni d'un repère orthogonal \( (o,\vec i, \vec j)\)  (unités graphiques: \(5cm\) sur l'axe des abscisses et \(10cm\) sur l'axe des ordonnées).

1. Calculer \( f_k'(x)\) pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle    et en déduire le sens de variation de la fonction \(f_k\).
2. Montrer que pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \( [0;+\infty [, f_k'(x)=ln(1+k\frac{x}{e^x})\)
   En déduire la limite de \(f_k\) en \(+∞\).
3. a) Dresser le tableau de variation de \(f_k\).
   b) Montrer que pour tout réel x de \( [0;+\infty [\), on a \(f_k(x) \leq \frac k e\)
4. Déterminer l'équation de la tangente \((T_k)\) à \((C_K)\) au point \(O\).
   5) Soit \(p\) et \(m\) deux réels strictement positifs tels que \(p < m\).  Étudier la position relative de \((C_p)\) et \((C_m)\).

 6) Tracer les courbes \((C_1)\) et \((C_2)\) ainsi que leurs tangentes respectives \((T_1)\) et \((T_2)\) en \(O\).

PARTIE C:

Soit \(λ\) un réel strictement positif, on note \(A(λ)\) l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe \((C_K)\) et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=λ\).

1. Sans calculer \(A(λ)\), montrer que: \(A(λ)\leq k \int_0^λxe^{-x}dx \)   
   (on pourra utiliser le résultat de la question préliminaire).
2. Calculer à l'aide d'une intégration par parties l'intégrale \(\int_0^λxe^{-x}dx \)  
3. On admet que \(A(λ)\) admet une limite en \(+∞\). Montrer que  \( ^\lim_{λ \to +\infty}A(λ) \leq k \)
   Interpréter graphiquement ce résultat.