Sujet du BAC SM Mathématiques

Exercice 1: (05 points)

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on considère les nombres :
\(a_n = 4 \times 10^n-1;\) \(b_n = 2 \times 10^n-1;\) \(c_n = 2 \times 10^n+1\)

1. a) Calculer \(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2, a_3, b_3\) et \(c_3\) 
   b) Montrer que \(a_n\) et \(c_n\) sont divisibles par \(3\).
   c) Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à \(100\) donnée ci-dessous, que \(b_3\) est premier.
   d) Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(b_n \times c_n=a_{2n}\). 
   En déduire la décomposition en facteurs premiers de \(a\)
   e) Montrer que \(PGCD(b_n;c_n) = PGCD(b_n;2)\).
   En déduire que \(b_n\) et \(c_n\) sont premiers entre eux.
2. On considère l'équation \((E) : b_3x + c_3y = 1\) d'inconnues les entiers relatifs \(x\) et \(y\).
   a) Justifier le fait que l'équation \((E)\) possède au moins une solution.
   b) En appliquant l'algorithme d'Euclide aux nombres \(c_3\) et \(b_3\), déterminer une solution particulière de \((E)\).
   c) Résoudre l'équation \((E)\). Liste des nombres premiers inférieurs à \(100\) :
   \(2-3-5-7-11-13-17\)\(-19-23-29-31-37-41\)\(- 43-47-53-59-61 - 67\)\(- 71-73-79-83-89-97\)

Exercice 2: (05 points)

Partie1: On considère la fonction \(p\) définie sur \(\forall z \in \Bbb C;\) \(p(z) = z^3-(3 +2i)z^2 + (1 +5i)z +2 - 2i\)

1.  a) Calculer \(p(i)\).
   b) Déterminer deux nombres complexes \(a\) et \(b\) tels que: \(p(z) = (z-1)(z^2+ az + b)\)
2. Résoudre dans \( \Bbb C\), l'équation : \(z^2-(3 + i)z + 2 + 2i = 0\).
3. En déduire dans les solutions de l'équation \((E) : p(z) = 0\).

Partie2: Le plan est muni d'un repère \((0; \vec u; \vec v)\) d'unité \(5 cm\).
On pose \(z_0 = 2\) et \(\forall \in \Bbb N, z_{n+1} = -2\)
On note \(A\), le point du plan d'affixe \(z_n\)

1. a) Calculer \(z_1\) et \(z_2\)
   b) Placer les points \(A_0\),\(A_1\), et \(A_2\) dans le plan complexe.
2. On considère la suite \(U\) définie par: \( \forall n \in N, U_n = |z_{n+1} - z_n| \)
   a) Justifier que \( \forall n \in \Bbb N, U_n =\frac{\sqrt 2}{2}|z_n|\)
   b) Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison  \(\frac{\sqrt 2}{2}\) et de premier terme \( \sqrt 2\) 
   c) Exprimer \(U_n\) en fonction de \(n\).

Problème : (10 points)

Partie A: On considere la fonction \(g\) définie sur \(]0; +\infty [\) par: $$g(x) = \frac {(x-1)^2}{x^2+1}+\ln x$$

1. Déterminer les limites de \(g\) aux bornes de son ensemble de définition
2. Démontrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0;+\infty[,\) \(g'(x) = \frac {(x^2+1)^2-2x(1-x^2)}{x(x^2+1)^2}\)
3. a) Démontrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0;+\infty[,\) \(2x(1 - x^2) <(x^2 + 1)^2\)
   b) En déduire le signe de \(g'(x)\).
   c) Dresser le tableau de variation de \(g\).
4. a) Démontrer que \(1\) est l'unique solution de l'équation \(g(x) = 0\)
   b) Démontrer que : \(g(x) <0\)\(⇔ 0<x< 1\) et \(g(x) >  1\)

Partie B : Soit \(f\) la fonction définie sur \([0; +\infty[\) part : \(\begin{cases}f(x)=x\ln x -\ln(x^2+1) \\ f(0)=0 \end{cases}\) et \( (C)\) sa courbe représentative dans le repère orthonormé \((0,I,J)\). (Unité graphique: \(1 cm\) en abscisse et \(2 cm\) en ordonnée).

1. Etudier la continuité de \(f\) en \(0\).
2. Démontrer que la courbe \((C)\) admet au point d'abscisse une demi-tangente verticale.
3. Calculer la limite de \(f\) en \(+\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\). En déduire une interprétation graphique.
4. a) Démontrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0; +\infty[,\) \(f'(x) = g(x)\)
   b) Déterminer le sens de variation de \(f\)
   c) Dresser le tableau de variation de \(f\)
5. a) Démontrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution a dans \(]0; +\infty[\)
   b) Vérifier que: \(2,22< \alpha < 2,23\)
6. Démontrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0; 1], -\ln 2 \leq f(x) < 0\)
7. Construire \((C)\) dans le repère \((0,I,J)\). On prendra \(\alpha = 2,22\)