Sujet du BEPC General Mathématiques

A- ACTIVITES NUMERIQUES 

I.) Trouvez les dimensions d'un champ rectangulaire sachant que si l'on augmente la longueur et la largeur de 2m², l'air du champ augmente de 84m², tandisque si l'on augmente la largeur de 3m et diminue la longueur de 5m, l'aire diminue de 31m².

II.) On donne les réels à et b tels que \( a = \frac{3-\sqrt2}{7} \) et \( b = \frac{-1}{3+\sqrt2} \).
a) Calculer \( a^2 \) et \( 1+ b \).  
b) Montrer que les réels a et b sont opposés.    
c) Écrire le plus simplement possible, les réels a, b, et c.

On donne \( a = \frac{2^2 × 2^2 × 3^3}{2^3 × 2 × 3^4} \), \( b = (2 + \frac{1}{3}):\frac{14}{5} \) et c = a x b

III.) On donne les expressions suivantes:   
\( A = -x^2 + 4 + (x - 2)(2x - 1) + (x - 2)^2 \) 
\( B = (2x - 5)^2 - (4x - 10)(3x + 2) \).   
1.) Développer, réduire et ordonner A et B.     
2.) Décomposer A et B en produits de facteurs du premier degré.

B-) ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES   

1.) Construire un triangle ABC rectangle en A tel que : AB= 3cm et BC= 6cm.  
Soit D le symétrique de B par rapport à la droite (AC).    
Prouver que BD = 6cm et CD = 6cm.   
2.) Soit M un point qui se déplace sur le segment [BD].    
On appelle \( x \) la longueur du segment [BD]. 
a) Entre quelles valeur peut varier \( x ? \).  
b) Exprimer BM en fonction de \( x \).   
c) On projette M en I sur le segment [CD], parallèlement à la droite (BC).    
Prouver que DI= \( x \).